• структурированность;
• взаимосвязанность составляющих систему частей;
• подчиненность организации всей системы определенной цели.

Эти признаки нетрудно обнаружить в обыденной жизни. На самом деле любое осознанное действие преследует определенную цель; во всяком действии легко можно увидеть составные части, более мелкие действия (операции). Эти действия должны выполняться в определенной последовательности (не все операции коммутируют друг с другом). Это и есть определенная, подчиненная цели взаимосвязанность составных частей, которые являются признаками системности. Иначе подобное построение называется алгоритмом.

Кроме этих признаков следует отметить и другие важные особенности систем, а именно их целостность и обособленность. В этих чертах отражается свойство системы взаимодействовать с окружающей средой как единое целое. Система может подвергаться воздействию со стороны среды и сама воздействовать на нее, оставаясь при этом той же системой. Иными словами, под целостностью понимается не изолированность системы, а способность сохранять свои главные черты в процессе эволюции.

Основным методом исследования систем является моделирование, главным образом, компьютерное моделирование. Это связано, в частности, и с тем, что, как правило, исследуемые системы являются сложными. Под сложными системами понимаются системы, в которых практически невозможно формализовать некоторые операции, и (или) которые функционируют во внешней среде с непредсказуемым изменением своих параметров. К подобным сложным системам относятся практически все системы, где человек выступает в качестве одного из элементов. Иначе говоря, сложность характеризуется либо большим количеством внутренних или внешних связей, либо невозможностью описать ее функционирование четким алгоритмом.

При моделировании сложных систем неизбежны разные подходы, идущие из различия в понимании взаимоотношения понятия "часть" и "целое". Крайние варианты способов изучения иногда называют редукционизмом и интегратизмом. Основной тезис редукционизма состоит в следующем: "Целое всегда равно сумме своих частей", то есть в этом подходе предполагается возможность экстраполяции информации, полученной на основе изучения ее частей на всю систему. Интегратизм, наоборот, отвергает принципиально такую возможность. Основной его тезис: "Целое всегда больше своих частей". В этом подходе основное внимание уделяется изучению именно связей в системе, поскольку предполагается, что именно они детерминируют основные свойства системы.

Противоречие, порожденное этими подходами, особенно четко проявляется при попытке ответа на вопрос: возможно ли понять процессы, идущие в живом мире, основываясь только на физических и химических представлениях, не вводя дополнительных гипотез? Можем ли мы описать целое, основываясь на знании законов функционирования его отдельных частей, или существуют неизвестные нам законы "сборки" этого целого, которые и определяют поведение подобных систем? Этот вопрос имеет большую историю, и ответа на него в настоящее время не существует, поэтому при описании систем различной природы имеет смысл опираться на позицию Вернадского, то есть рассматривать жизнь как нечто данное, выделяя таким образом возникновения жизни в отдельную проблему.

Описания систем независимо от конкретного содержания ее элементов требует и использования некоторого набора универсальных параметров. Эти параметры должны отражать структуру системы, существующие связи между частями системы, взаимодействие системы с внешним миром, а также целенаправленность системы. Единой математической дисциплины, построенной на подобных понятиях, в настоящее время не существует. В каком направлении пойдет развитие системных представлений - по пути создания нового специально разработанного математического языка или по пути совершенствования уже существующих и используемых при изучении систем математических дисциплин? Можно предположить, что будут реализовываться оба этих направления. Скорее всего, на основе существующих математических языков возникнет новая дисциплина со своими понятиями и формализмом.

Какие математические дисциплины применяются сейчас для описания систем?

Структурную схему системы необычайно удобно рассматривать в формализме теории графов. Возможность приложения графов к системам различного содержания заложена, в сущности, уже в самом понятии графа, сочетающего в себе теоретико-множественные, комбинаторные и топологические аспекты. Переведя структурные характеристики системы на язык теории графов, то есть представив систему в виде конкретного графа, можно пользоваться всеми возможностями, которые предоставляет эта теория. В частности, можно сравнивать различные системы друг с другом, пользуясь понятием изоморфизма, находить одинаковые части систем, в терминах теории графов (связность графа, степени вершин) можно описывать структурные достоинства или недостатки системы.

Следующий аспект в исследовании систем - информационный. Теоретико-информационные представления позволяют, благодаря их общности и абстрактности, выразить разрозненные физические и технические характеристики через универсальные параметры (энтропия, информация, пропускная способность), независимо от физической сущности конкретных устройств и систем. Причем можно не только выразить, но и сопоставить не только качественно, но и количественно.

Функционирование многих систем связано с получением и переработкой информации. Определение Н.А. Колмогорова кибернетики как науки о системах, воспринимающих, хранящих и перерабатывающих информацию, оттеняет именно эту сторону изучения систем [1]. Без информации невозможно принять необходимое решение, а следовательно, осуществить необходимое действие. В этом плане информация исполняет роль первого звена в цепи: информация-решение-действие, и она является необходимой предпосылкой функционирования систем. Интересными следует признать попытки охарактеризовать понятие сложности системы количеством структурной информации, содержащейся в графе, отображающем структурную схему данной системы.

Системные задачи очень часто требуют обработки сложной и неточной информации. Значительная часть поступающей информации в сложных системах недоступна в форме точных, четко определенных чисел, поскольку при измерениях получить точную информацию очень сложно, чаще всего невозможно, а если и возможно, то обычно она оказывается малополезной и трудно интерпретируемой. Как правило, это бывает при анализе функционирования сложной многомерной системы. Упрощенная модель обеспечивает порой более понятную информацию, чем детальная и более точная модель. По мере возрастания сложности системы наша способность формулировать точные, содержащие смысл утверждения о ее поведении уменьшается до некоторого порога, за которым точность и смысл становятся взаимоисключающими [2]. Этот принцип несовместимости связан с тем, что в основе восприятия и рассуждения человека лежат обобщенные, схематизированные, а следовательно, неточные и субъективные представления о реальном. Со времени открытия Гейзенбергом соотношения неопределенности принципиально неустранимая неточность стала достаточно привычным явлением. Но учет неточности (даже порожденной ограниченностью человеческого разума) не снимает требований к строгости, которая должна быть даже в большей степени, чем достижение точности, присущей научному подходу.

Классическими подходами обработки неполной информации являются теория вероятностей и теория ошибок.

Теория вероятностей - это математическая теория с ясными аксиомами. Основная - это аддитивность вероятностей независимых событий. Не касаясь вопроса об интерпретации того, что же на самом деле, какого рода реальность описывается этой теорией, заметим, что вероятностная модель приспособлена к обработке точной, но распределенной по реализациям информации. Как только возникает неточность в отдельной реализации, вероятностная модель становится неприменимой.

Теория ошибок имеет ограниченность в силу того, что она не отражает оттенки и применима лишь к числовым величинам. И если неизвестно точное значение параметра, то точно известны пределы его изменения. Иначе говоря, в теории ошибок неточная информация представляется в виде множества возможных, а не точных значений. Она отражает лишь неточность средств измерений, выраженную в интервальной форме.

Часто оказывается, что неточность типа ошибки измерения присутствует всегда в самой серии испытаний. Ученые часто оказываются в ситуации, когда нужно получить пересекающиеся интервалы, порожденные независимыми измерениями с целью уменьшить ошибку и выделить интервал наиболее правдоподобных значений параметра. И в этом случае вероятностный подход не может быть использован, поскольку вероятности были приспособлены для обработки точных, но противоречивых результатов испытаний.

В последнее время широкое применение получила теория возможностей, созданная Заде на основе его идеи о нечетких множествах [2]. Нечеткое множество позволяет учитывать тот факт, что любой объект может более или менее соответствовать некоторой категории, к которой его хотели бы отнести. Когда степени возможности этого соответствия принимают только два значения: 0 или 1, то теория возможностей в точности совпадает с теорией ошибок. Но в отличие от теории вероятностей, которая приспособлена для обработки точных, но противоречивых результатов, меры теории возможностей являются естественным средством для построения баз знаний, хотя и неточных, но согласованных.

Основная задача научного анализа - выделить реальные движения из множества мысленно допустимых, сформулировать принципы их отбора [4]. Под понятием "движение" будем понимать любое изменение вообще, всякое взаимодействие материальных объектов. Проблема математического моделирования состоит в описании принципов этого отбора в тех терминах и переменных, которые наиболее полно характеризуют изучаемый процесс. Принципы отбора сужают множество допустимых движений, отбрасывая те, которые не могут быть реализованы. Чем совершеннее модель, тем уже становится множество реальных движений, тем точнее оказывается прогноз.

В различных областях знания принципы отбора движений разные. Принято различать три уровня организации материи: неживая, живая и самая высокая организация материи - общество. Такое деление оправдано качественно различными принципами отбора реальных движений, не сводимыми к принципам нижних уровней организации.

• На самом нижнем уровне (неживая материя) основные принципы отбора - законы сохранения вещества, импульса, энергии и т.д. Но законы сохранения не исчерпывают всех принципов отбора. Необходимо учитывать 2-ое начало термодинамики, принципы минимума диссипации энергии и устойчивости. Очень важны всякого рода условия (ограничения): начальные, граничные и другие. Законов сохранения не хватает. Принцип минимума диссипации энергии отбирает из числа возможных движений, подчиняющихся законам сохранения, те движения, реализация которых приводит к минимуму роста энтропии.
• На уровне живой материи все принципы отбора движений, справедливые в неживой материи, сохраняют свою силу. Поэтому и здесь моделирование начинается с записи законов сохранения. Однако основные переменные оказываются иными. Речь идет о биологической макросистеме. Основное содержание процессов - существование сообществ биологических видов. Наиболее характерными для таких систем являются процессы потребления пищи. Значит и законы сохранения должны быть выражены в терминах подобных связей - кто кого ест и в каких количествах. Но для того, чтобы понять процессы, происходящие в живой природе, принципов отбора, свойственных для неживой природы, недостаточно. При функционировании живых организмов происходит отбор движений, которые не являются следствием законов сохранения, определяющих функционирование неживой природы. Здесь дело осложняется тем, что живой природе свойственны целесообразные действия. Поэтому объяснить наблюдаемое в живом мире без использования понятий обратной связи и информации оказывается невозможным.

Прежде чем перейти к рассмотрению биологических систем, сделаем замечания относительно понятия "живой". Интуитивно понятен и термин "мертвый" - прежде живой. Мы не говорим, что кристалл - мертвый объект.

А насколько существенно при исследовании систем относить ее к "живой" или "неживой" природе?

Состояние живого - это некоторое свойство системы (ее характеристика), которое может быть приложено только к организованной системе. Это, однако, не означает, что отдельные части системы не могут обладать таким же свойством, потому что для живых организмов характерна иерархическая структура. Общество состоит их людей, а отдельный человек - из органов, каждый из которых в определенной степени обладает собственной целостностью и функциональным единством. Органы состоят из клеток, которые также обладают некоторой самостоятельностью. Ясно, что общество умирает (распадается) раньше, чем умирают его члены, человек умирает раньше, чем тот или иной его орган, например почка, потеряет способность работать в организме другого человека. Здесь есть проблема, связанная с этим понятием ("живой"): с какого момента может считаться донор мертвым при пересадке органов? Суть проблемы: являются ли изменения, которые привели к тому, что потенциальный донор полностью утратил сознание и оказался неспособным поддерживать жизненные процессы, действительно необратимыми? В такой формулировке эта проблема на самом деле важна. А с другой стороны, кажется не так важно, будет ли вирус определен как живой организм или нет. Одни свойства вирусов (экстраактивность, заразность, изменчивость) склоняют нас к тому, чтобы видеть в них самые маленькие живые организмы, еще более мелкие, чем бактерии. А другие свойства (нарушать механизмы синтеза в живой клетке таким образом, что он начинает воспроизводить бесконечное множество их копий) заставляют видеть в них пакеты генетической информации. И вместо того, чтобы быть живым, вирус оказывается, по образному выражению Медавара [3], всего лишь "завернутым в белок скверной новостью". Но, подразумевая под организмом систему, обладающую своей собственной целью, мы фактически выбираем и способ моделирования. Это принципиальный момент, поскольку принципы моделирования неживой и живой природы существенно различны.

Характерной особенностью живой системы является способность реагировать на изменения внешней среды. Эта особенность должна найти свое отражение при построении модели той или иной биологической системы. Это можно сделать, например, если ввести в модель хорошо известное из биологии понятие гомеостазиса.

Будем называть областью гомеостазиса организма (или областью стабильности) ту область внешних параметров (параметров среды), внутри которых возможно существование организма. Есть и другие определения. Например, под гомеостазисом понимают поддержание постоянства существенных переменных организма для обеспечения оптимального режима внутренней среды, то есть свойство организма удерживать свои характеристики в допустимых пределах. Это означает, что при различных внешних условиях он должен вести себя так, чтобы его состояние не вышло из той области параметров, которое обеспечивает возможность продолжения существования организма. Каждый организм имеет рецепторы (датчики), которые позволяют ему оценивать свое положение относительно границ гомеостазиса, которое можно описать некоторым вектором x, и способностью к определенным действиям (вектор u ). Таким образом, получая информацию (сигнал x ) о состоянии окружающей среды, он формирует свои действия u в зависимости от характера этой информации. Реальные движения организма выбираются вполне определенным образом - с помощью обратной связи, организм стремится уйти от своей гомеостатической границы. Именно в этом и проявляется целесообразность поведения организма. Таким образом, живой организм обладает определенными свойствами:

• он способен изменять свое положение относительно границ области гомеостазиса;
• он способен изменять в определенных пределах свои внутренние характеристики, деформируя таким образом саму область гомеостазиса (способность к адаптации);
• в известных условиях организм может изменять и сами характеристики окружающей среды.

Стремление сохранить свой гомеостазис порождает вполне определенные механизмы отбора реальных движений (поведения), не выводимые из принципов, определяющих течение процессов в неживой природе.

Биологические системы относятся к классу управляемых систем рефлексивного типа. Управляемых потому, что они содержат свободные функции, находящиеся в распоряжении этих систем, и используют их для достижения своих целей; а рефлексивного типа - в силу рефлексности функции поведения. Термин "рефлексивный" был введен в науку биологами, и он подчеркивает простоту зависимости управляющей функции от информации (рефлекса от возбуждения).

Введем понятие организма как системы, обладающей собственной целью и способностью (ресурсом) для ее достижения, то есть целенаправленными действиями. Организм обладает способностью образовывать обратные связи.

Очевидно, что отдельный индивид является организмом. Группы животных также могут проявлять отдельные свойства организма. При некоторых условиях и целая популяция может быть отнесена к организму (например, кораллы, муравьи и т.д.). Более высокие иерархические уровни уже нельзя считать организмом. Например, биогеоценоз (экосистема), вероятно, не является организмом, хотя можно говорить о гомеостазисе. Однако, он, по-видимому, не обладает способностью образовывать петли обратной связи, т.е. целесообразного использования ресурсов для сохранения гомеостазиса биогеоценоза в целом. Но это вовсе не означает, что описать экосистему можно без использования понятия обратной связи.

Таким образом, при моделировании биологических систем мы должны основываться на законах сохранения (уравнений баланса) и системе обратных связей (функций поведения).

Моделирование общественных систем требует введение и новых параметров, поскольку на общественном уровне возникает новое явление - трудовая деятельность. Такого типа модели, использующие только балансовые соотношения (законы сохранения), применял известный американский экономист Леонтьев еще в довоенные годы. Подобно моделям Вольтера для биологических систем балансовые модели в экономике описывают материальные потоки (продукты, ресурсы). При описании в социальных системах целенаправленной деятельности можно также использовать понятия информационных процессов и обратной связи.

В биологических системах информационные процессы просты. Функция поведения рефлексного типа и описывается простыми функциональными зависимостями типа: Реакция = F(сигнал). По существу это - параметризация информационных процессов, протекающих в биологических системах.

В социальной системе возникают дополнительные сложности, связанные, во-первых, с громадным объемом информации (причем специальным образом надо описывать способ обработки информации), и во-вторых, человек принимает решение на основе полученной информации, и связь "сигнал - реакция" не носит характер рефлекса. Любая группа людей обладает своими собственными целями и средствами их достижения. Эти цели связаны с сохранением гомеостазиса именно этих групп. Но цели гомеостатической стабильности очень опосредовано связаны с принимаемыми решениями. В силу этого обратная связь должна описываться сложным оператором, результат действия которого часто неоднозначен. Кроме того эту связь часто невозможно формализовать.

Можно сделать вывод, что, если модели в физике или химии носят характер прогноза, то в биологии и общественных дисциплинах математические модели служат не для получения количественных характеристик, а для нахождения оценок, позволяющих видеть допустимые границы наших действий или тенденции развития исследуемых процессов.

Библиографический список

1. Перегудов Ф.И., Тарасенко Ф.П. Введение в системный анализ. М.: Высшая школа, 1986.
2. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. Приложение к представлению знаний в информатике. М.: Радио и связь, 1990. 288 с.
3. Медавар П., Медавар Дж. Наука о живом. Современные концепции в биологии. М.: Мир, 1983. 207 с.
4. Моисеев Н.Н. Математические методы системного анализа. М., 1981. 488 с.