<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt,article]{report}
%\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=3cm,bottom=2cm]{geometry}
\usepackage[cp866]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{srcltx}
\usepackage{amsmath,amsopn,amssymb,multicol,russian,ii}

\voffset -30pt \hoffset -75pt

\begin{document}
\newpage
\maketit{514.765}{А.М.~Ломшаков\footnotemark[1]\\

}%
{\bf \large Инвариантные метрики Эйнштейна на три
локально-симметрических римановых пространствах \\  
}%
{Инвариантные метрики Эйнштейна \dots}%
{Ломшаков~А.М.}%

\footnotetext[1]{Работа выполнена при поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований (код проекта 99-01-00543)}

\begin{multicols}{2}
{\bf Введение.}

В [1, 2, 3] изучались инвариантные эйнштейновы метрики на три
локально-симмет\-рических римановых пространствах, т.е. на
однородных римановых пространствах с тремя компонентами
разложения изотропии, каждая из которых обладает свойством
локальной симметричности.

Данная работа посвящена изучению вопроса о существовании
инвариантных метрик Эйнштейна на этом классе пространств при
условии, что модули представления изотропии попарно не
изоморфны.\\

{\bf Обозначения и необходимые сведения.}

Пусть $G/H$ -- однородное компактное пространство с полупростой
связной группой движений $G$, $[\cdot,\cdot]$ -- скобка Ли,
$B(\cdot,\cdot)$ -- форма Киллинга алгебры Ли $g$, $\langle
\cdot,\cdot \rangle =-B(\cdot,\cdot)$ -- биинвариантная риманова
метрика группы $G$.

Рассмотрим $p$ -- ортогональное дополнение к $h$ в $g$
относительно $\langle \cdot,\cdot \rangle$. Любая $G$ -
инвариантная риманова метрика на $G/H$ порождает некоторое
$ad_{h}$-инвариантное скалярное произведение на $p$ и наоборот [4,
формула 7.24]. Отождествим однородные римановы метрики на $G/H$ c
$ad_{h}$-инвариантными скалярными произведениями на $p$.

Допустим, что пространство $G/H$ таково, что модуль $p$
представим в виде прямой суммы трех попарно ортогональных
относительно $\langle \cdot,\cdot \rangle$, $ad_{h}$-инвариантных
неприводимых модулей, т.е.
$$
p=p_{1} \oplus p_{2} \oplus p_{3},\quad i,j \in \{1,2,3\},
$$
удовлетворяющих соотношениям $[p_{i},p_{i}] \subset h$ для $i\in
\{1,2,3\}$.

{\bf Теорема}[3]. Все пространства $G/H$, удовлетворяющие
вышеприведенным условиям, допускают однородную метрику Эйнштейна.

Пусть $\{e^{j}_{i}\}$ -- ортонормированный базис в $p_{i}$
относительно $\langle \cdot,\cdot \rangle$, $i \in \{1,2,3\}$, $1
\leq j \leq d_{i}=dim p_{i}.$ Следуя [5], определим выражение
$\genfrac{[}{]}{0pt}{}{k}{ij}$ для $i,j,k \in \{1,2,3\}$:

$$\genfrac{[}{]}{0pt}{}{k}{ij}=\sum_{\alpha,\beta,\gamma}(\langle
[e^{\alpha}_{i},e^{\beta}_{j}],e^{\gamma}_{k} \rangle)^2,$$ где
$\alpha,\beta,\gamma$ изменяются в пределах от 1 до
$d_{i},d_{j},d_{k}$ соответственно. Cимволы
$\genfrac{[}{]}{0pt}{}{k}{ij}$ симметричны по всем трем индексам
в силу биинвариантности метрики $\langle \cdot,\cdot \rangle$.
Причем для пространств рассматриваемого нами типа
$\genfrac{[}{]}{0pt}{}{k}{ij}=0$ при двух совпадающих индексах.
Величину $A=\genfrac{[}{]}{0pt}{}{3}{12}$ называют символом
Казимира. Очевидно, что
$$A=\genfrac{[}{]}{0pt}{}{3}{12}=\genfrac{[}{]}{0pt}{}{2}{13}=\genfrac{[}{]}{0pt}{}{1}{23}=
\genfrac{[}{]}{0pt}{}{2}{31}=\genfrac{[}{]}{0pt}{}{1}{32} \geq
0.$$

{\bf Лемма 1}[3]. Для всех $i \in \{1,2,3\}$ выполняется
неравенство
$$
d_{i} \geq 2A,
$$
причем равенство равносильно выполнению соотношения $[h,p_{i}]=0$.

Рассмотрим семейство $ad_{h}$-инвариант\-ных метрик на $p$ вида
$$
(\cdot,\cdot)=x_{1}\cdot \langle \cdot,\cdot \rangle |_{p_{1}}+
x_{2}\cdot \langle \cdot,\cdot \rangle |_{p_{2}}+
x_{3}\cdot\langle \cdot,\cdot \rangle |_{p_{3}},
$$
где $x_{i}&gt;0$. Пусть $Ric(\cdot,\cdot)$ -- форма кривизны Риччи
метрики $(\cdot,\cdot)$, которая также $ad_{h}$-инвариантна, тогда
$$
Ric(\cdot,\cdot)|_{p_{i}}=r_{i} \cdot(\cdot,\cdot)|_{p_{i}}
$$
для некоторых вещественных $r_{i}$.

{\bf Лемма 2}[3]. Модули $p_{i}$ попарно ортогональны относительно
формы кривизны Риччи $Ric(\cdot,\cdot)$ метрики $(\cdot,\cdot)$.
Для вычисления чисел $r_{i}$ справедлива формула
$$
r_{i}=\frac{1}{2x_{i}}+\frac{A}{2d_{i}}\biggl(\frac{x_{i}}{x_{j}x_{k}}
-\frac{x_{k}}{x_{i}x_{j}}-\frac{x_{j}}{x_{i}x_{k}} \biggr),
$$
где $i,j,k \in \{1,2,3\}$, $i \neq j \neq k.$

{\bf Лемма 3}[3]. Пусть $A=0$ и $\lambda_{i}$ -- произвольные
положительные числа, $i \in \{1,2,3\}$. Тогда существует метрика
$(\cdot,\cdot)$, для которой
$(r_{1},r_{2},r_{3})=(\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3})$.

Будем считать, что $A&gt;0$. Без ограничения общности примем, что
$d_{1} \leq d_{2} \leq d_{3}$. Пусть $\alpha_{i}=\frac{d_{i}}{A}$.
Тогда  $2 \leq \alpha_{1} \leq \alpha_{2} \leq \alpha_{3}$
согласно лемме 1.

Тогда формулы из леммы 2 примут вид: \label{euler}
$$\left\{
\begin{array}{l}
r_{1}=\frac{1}{2x_{1}}+\frac{1}{2\alpha_{1}}\biggl(\frac{x_{1}}{x_{2}x_{3}}
-\frac{x_{2}}{x_{1}x_{3}}-\frac{x_{3}}{x_{1}x_{2}} \biggr),\\
r_{2}=\frac{1}{2x_{2}}+\frac{1}{2\alpha_{2}}\biggl(\frac{x_{2}}{x_{1}x_{3}}
-\frac{x_{1}}{x_{2}x_{3}}-\frac{x_{3}}{x_{1}x_{2}} \biggr),\\
r_{3}=\frac{1}{2x_{3}}+\frac{1}{2\alpha_{3}}\biggl(\frac{x_{3}}{x_{1}x_{2}}
-\frac{x_{1}}{x_{2}x_{3}}-\frac{x_{2}}{x_{1}x_{3}} \biggr).\\
\end{array}
\right.\eqno (1)
$$

{\bf Лемма 4}[3]. Пусть $\alpha_{1}=2$. Тогда необходимо
$\alpha_{2}=\alpha_{3},$ и $G/H$ допускает однородную метрику
Эйнштейна.\\

{\bf Формулировка и доказательство основного результата.}

{\bf Теорема.} Число инвариантных метрик Эйнштейна на три
локально-симметрических римановых пространствах с попарно
неизоморфными модулями представления изотропии не превышает
четырех.

{\bf Доказательство теоремы.}

Согласно лемме Шура

$$
(\cdot,\cdot)=x_{1}\cdot \langle \cdot,\cdot \rangle |_{p_{1}}+
x_{2}\cdot \langle \cdot,\cdot \rangle |_{p_{2}}+
x_{3}\cdot\langle \cdot,\cdot \rangle |_{p_{3}}.
$$

Так как эйнштейнова метрика однородного риманова пространства
определяется с точностью до гомотетии, то можно рассмотреть новую
метрику\\

$(\cdot,\cdot)_{n}=\frac{1}{x_{1}} \cdot (\cdot,\cdot)=1 \cdot
\langle \cdot,\cdot \rangle |_{p_{1}}+ \frac{x_{2}}{x_{1}}\cdot
\langle \cdot,\cdot \rangle |_{p_{2}}+\frac{x_{3}}{x_{1}}\cdot\langle
\cdot,\cdot \rangle |_{p_{3}},$\\

где $t=\frac{x_{2}}{x_{1}},s=\frac{x_{3}}{x_{1}}$, или
$$(\cdot,\cdot)_{n}=1 \cdot \langle \cdot,\cdot \rangle |_{p_{1}}+
t \cdot \langle \cdot,\cdot \rangle |_{p_{2}}+ s \cdot\langle
\cdot,\cdot \rangle |_{p_{3}}.$$ При этом формулы для главных
значений кривизны Риччи $r^{*}_{i}$ примут вид:

\label{euler}
$$\left\{
\begin{array}{l}
r^{*}_{1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\alpha_{1}}\biggl(\frac{1}{ts}
-\frac{t}{s}-\frac{s}{t} \biggr),\\
r^{*}_{2}=\frac{1}{2t}+\frac{1}{2\alpha_{2}}\biggl(\frac{t}{s}
-\frac{1}{ts}-\frac{s}{t} \biggr),\\
r^{*}_{3}=\frac{1}{2s}+\frac{1}{2\alpha_{3}}\biggl(\frac{s}{t}
-\frac{1}{ts}-\frac{t}{s} \biggr).\\
\end{array}
\right.\eqno (2)
$$

Уравнение Эйнштейна примет вид: $r^{*}_{1}=r^{*}_{2}=r^{*}_{3}$,
или

$$\left\{
\begin{array}{r}
-(\frac{1}{\alpha_{1}}+\frac{1}{\alpha_{2}})t^2+
(\frac{1}{\alpha_{2}}-\frac{1}{\alpha_{1}})s^2+ts-s+\\
+\frac{1}{\alpha_{1}}+\frac{1}{\alpha_{2}}=0,\\
(\frac{1}{\alpha_{3}}-\frac{1}{\alpha_{1}})t^2-
(\frac{1}{\alpha_{3}}+\frac{1}{\alpha_{1}})s^2+ts-t+\\
+\frac{1}{\alpha_{1}}+ \frac{1}{\alpha_{3}}=0,\\
(\frac{1}{\alpha_{2}}+\frac{1}{\alpha_{3}})t^2-
(\frac{1}{\alpha_{2}}+\frac{1}{\alpha_{3}})s^2+s-t+\\
+\frac{1}{\alpha_{3}}-\frac{1}{\alpha_{2}}=0.\\
\end{array}
\right.\eqno (3) $$

Пусть $a_{i}=\frac{1}{\alpha_{i}}$, где $i \in \{1,2,3\}$, тогда
$\frac{1}{2} \geq a_{1} \geq a_{2} \geq a_{3}
&gt; 0$, из-за ограничений на $\alpha_{i}$, а система (3) примет вид

$\left\{
\begin{array}{r}
-(a_{1}+a_{2})t^2+(a_{2}-a_{1})s^2+ts-s+\\+a_{1}+a_{1}=0,\\
(a_{3}-a_{1})t^2-(a_{3}+a_{1})s^2+ts-t+\\+a_{1}+a_{3}=0,\\
(a_{2}+a_{3})t^2-(a_{2}+a_{3})s^2+s-t+\\+a_{3}-a_{2}=0.\\
\end{array}
\right. $

\hspace{14pt} Легко заметить, что одно из трех уравнений является
следствием двух других. Поэтому можно рассматривать систему из
любых двух уравнений, например из двух последних
$$\left\{
\begin{array}{r}
(a_{3}-a_{1})t^2-(a_{3}+a_{1})s^2+ts-t+\\+a_{1}+a_{3}=0,\\
(a_{2}+a_{3})t^2-(a_{2}+a_{3})s^2+s-t+\\+a_{3}-a_{2}=0.\\
\end{array}
\right.\eqno (4)
$$
\hspace{14pt} Систему (4) можно свести к уравнению четвертой
степени либо относительно $s$, либо относительно $t$.

Легко заметить, что оба этих уравнения получаются друг из друга
заменой $t$ на $s$, $a_{2}$ на $a_{3}$ и $a_{3}$ на $a_{2}$,
поэтому не имеет значения какое из этих уравнений рассматривать.

Рассмотрим уравнение относительно $t$. Исключим из первого
уравнения системы слагаемое с $t^2$, получим систему равносильную
системе (4)
$$\left\{
\begin{array}{r}
((a_{2}+a_{3})s-(a_{1}+a_{2}))t=2a_{1}(a_{2}+\\+a_{3})s^2+(a_{3}-a_{1})s-2a_{3}(a_{1}+a_{2}),\\
(a_{2}+a_{3})t^2-(a_{2}+a_{3})s^2+s-t+\\+a_{3}-a_{2}=0.\\
\end{array}
\right.\eqno (5)$$

Возможны два случая:\\

1) При $(a_{2}+a_{3})s-(a_{1}+a_{2}) = 0$ получим систему\\
$\left\{
\begin{array}{r}
(a_{2}+a_{3})s-(a_{1}+a_{2}) = 0,\\
2a_{1}(a_{2}+a_{3})s^2+(a_{3}-a_{1})s-\\-2a_{3}(a_{1}+a_{2})=0,\\
(a_{2}+a_{3})t^2-(a_{2}+a_{3})s^2+s-t+\\+a_{3}-a_{2}=0, \\
\end{array}
\right.$\\

или\\

$\left\{
\begin{array}{l}
s=\frac{a_{1}+a_{2}}{a_{2}+a_{3}},\\
 2a_{1}(a_{2}+a_{3})(\frac{a_{1}+a_{2}}{a_{2}+a_{3}})^2+
(a_{3}-a_{1})(\frac{a_{1}+a_{2}}{a_{2}+a_{3}})-\\-2a_{3}(a_{1}+a_{2})=0,\\
(a_{2}+a_{3})t^2-(a_{2}+a_{3})(\frac{a_{1}+a_{2}}{a_{2}+a_{3}})^2+
(\frac{a_{1}+a_{2}}{a_{2}+a_{3}})-\\-t+a_{3}-a_{2}=0, \\
\end{array}
\right.$\\

или\\

$\left\{
\begin{array}{l}
s=\frac{a_{1}+a_{2}}{a_{2}+a_{3}},\\
-\frac{(a_2+a_1)(a_3-a_1)(2a_3+2a_2-1+2a_1)}{a2+a3}=0,\\
\frac{(a_2+a_3)^2t^2-(a_2+a_3)t-2a_2a_1-a_1^2+a_2-2a_2^2+a_3^2+a_1}{a_2+a_3}=0.\\
\end{array}
\right.$\\

Так как $a_2+a_1 \neq 0$, $\ 2a_3+2a_2-1+\\+2a_1 \neq 0,\ a_2+a_3
\neq
0$, то система примет вид:\\

$\left\{
\begin{array}{l}
s=\frac{a_{1}+a_{2}}{a_{2}+a_{3}},\\
a_3=a_1,\\
(a_2+a_3)^2t^2-(a_2+a_3)t-2a_2a_1-a_1^2+\\+a_2-2a_2^2+a_3^2+a_1=0.\\
\end{array}
\right.$\\

В силу условия $\frac{1}{2} \geq a_{1} \geq a_{2} \geq a_{3}
&gt; 0$, имеем  $a_3=a_1=a_2$, или полагая $a_3=a_1=a_2=a$ получаем:\\

$\left\{
\begin{array}{l}
s=1,\\
a_1=a_2=a_2=a,\\
2at^2-t-2a+1=0,
\end{array}
\right.$\\

что равносильно системе\\

$\left\{
\begin{array}{l}
s=1,\\
a_1=a_2=a_2=a,\\
(t-1)(2a(t+1)-1)=0.\\
\end{array}
\right.$\\

Таким образом система имеет два решения:

$t_1=1, s_1=1$, или

$t_2=\frac{1-2a}{2a}, s_2=1$,

где $\frac{1}{2} \geq a_{1} = a_{2} = a_{3} = a &gt; 0$. Отсюда $1-2a
\geq 0$ и $t_2 \geq 0$.\\

2) При $(a_{2}+a_{3})s-(a_{1}+a_{2}) \neq 0$, выразив $t$ из
первого уравнения и подставив во второе, получим уравнение
4-ой степени:\\
$(a_{2}+a_{3})^2(2a_{1}-1)(2a_{1}+1)s^4+(a_{2}+a_{3})(2a_{2}+4a_{1}a_{3}+1-4a^{2}_{1})s^3
+(2a^{2}_{1}+2a^{2}_{3}-8a_{1}a^{2}_{2}a_{3}-2a^{2}_{2}-8a^{2}_{1}a_{2}a_{3}-2a_{2}-
8a_{1}a_{2}a^{2}_{3}-2a_{1}a_{3}-a_{1}-a_{3}-8a^{2}_{1}a^{2}_{3})s^{2}+(a_{1}+
a_{2})(4a_{1}a_{3}+2a_{2}+1-4a^{2}_{3})s+(2a_{3}-1)(2a_{3}+1)(a_{1}+a_{2})^{2}=0
\quad (6)$

Нас интересуют положительные корни этого уравнения. Трудно решить
это уравнение, но можно ответить на вопрос о числе положительных
корней. Согласно теореме Декарта, число положительных корней
совпадает с числом перемены знаков коэффициентов при степенях $t$
[6]. Оценим каждый из коэффициентов уравнения.

Легко заметить, что коэффициент при $t^4$ получается из свободного
члена, а коэффициент при $t^3$ из коэффициента при $t$ заменой
$a_{1}$ на $a_{3}$, $a_{3}$ на $a_{1}$. Коэффициент при $t^2$
является симметрическим многочленом относительно $a_{1}$ и
$a_{3}$.

Полученное чередование знаков в общем случае  - , +, -, +, -.

Таким образом, так как существует одно положительное решение [1],
то положительных корней либо два, либо четыре согласно теореме
Декарта.

Коэффициент при $t^4$ равен нулю при $a_1=\frac{1}{2}$, а
свободный член равен нулю при $a_3=\frac{1}{2}$. Рассмотрим два
этих частных случая.

Если $a_1=\frac{1}{2}$, то по лемме 4 имеем $a_2=a_3$, а тогда,
полагая $a_2=a_3=a$, получаем уравнение

%\end{multicols}

$s^3-\frac{2a^2+a+1}{2a}s^2+\frac{(2a+1)(-4a^2+4a+1)}{16a^2}s+\frac{(4a^2-1)(2a+1)^2}{32a^2}=0,$

%\begin{multicols}{2}

С корнями:

$s_1=a+\frac{1}{2}$,

$s_2=\frac{1}{4a}+\frac{3\sqrt{4a^2+2a-1}}{2\sqrt{2a}}-\frac{\sqrt{2}\sqrt{4a^2+2a-1}}{\sqrt{a}}$,

$s_3=\frac{1}{4a}-\frac{3\sqrt{4a^2+2a-1}}{2\sqrt{2a}}+\frac{\sqrt{2}\sqrt{4a^2+2a-1}}{\sqrt{a}}$.

Причем $s_2, s_3&gt;0$, при $a \in
[\frac{1}{4}(\sqrt{5}-1);\frac{1}{2})$.

Далее находим,

$t_1=a+\frac{1}{2}$,

$t_2=\frac{1+\sqrt{2a}\sqrt{4a^2+2a-1}}{4a}$,

$t_3=\frac{1-\sqrt{2a}\sqrt{4a^2+2a-1}}{4a}$.

Причем, $t_2, t_3&gt;0$ при $a \in
[\frac{1}{4}(\sqrt{5}-1);\frac{1}{2})$.\\

Рассмотрим случай, когда $a_3=\frac{1}{2}$. В этом случае, в силу
условия  $\frac{1}{2} \geq a_{1} \geq a_{2} \geq a_{3} &gt; 0$,
имеем $a_{1} = a_{2} = a_{3} = \frac{1}{2}$. Тогда единственное
удовлетворяющее нас решение системы есть $t=1,\ s=1$.

Таким образом, в общем случае уравнение (6) имеет либо два, либо
четыре корня, в частных случаях, либо три, либо один.

Теорема доказана.\\

{\bf Замечание 1.} При $t=s=1$ -- эйнштейнова метрика является
нормальной однородной римановой метрикой.

{\bf Замечание 2.} Пусть $a_1=a_2=a_3=a$, тогда система (4) примет
вид

\label{euler}
$$\left\{
\begin{array}{l}
-2as^2+ts-t+2a=0,\\
2at^2-2as^2+s-t=0.\\
\end{array}
\right.\eqno (7)
$$

Решением системы являются пары: $(1,1),\
(\frac{2a}{1-2a},\frac{2a}{1-2a}),\ (1, \frac{1-2a}{2a}),\
(\frac{1-2a}{2a}, 1)$, где $0 \leq 1-2a &lt; 1.$\\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Рассмотрим примеры таких пространств -- многообразий флагов
$SU(3)/T_{max}$ и $Sp(3)/Sp(1) \times Sp(1) \times Sp(1)$, в
комплексной и кватерионной проективных плоскостях соответственно,
или многообразий Уоллача [1].

Пусть $G=SU(3)$,  или $Sp(3)$, а $H=T_{max} \ (T_{max}$ --
максимальный тор $SU(3))$, или $Sp(1) \times Sp(1) \times Sp(1)$.
Если $F=C$ или H,  то алгебра Ли $g$ группы $G$ -- это множество
$(3 \times 3)$-матриц $A$ с компонентами из $F$ таких, что
$\bar{A}^t=-A \ (tr A=0,$ если $F=C),$ а алгебра Ли $h$ группы
$H$ -- множество всех диагональных матриц из $g$. Введем
обозначения:
$$
\pmatrix
\alpha_1 &amp; a &amp; \bar{c}\\
 -\bar{a} &amp; \alpha_2 &amp; b\\
-c &amp; -\bar{b} &amp; \alpha_3\\
\endpmatrix = E(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)+D(a,b,c),
$$
где $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 \in Im F \ (\alpha_1 + \alpha_2 +
\alpha_3=0$, если $F=C)$, $a,\ b,\ c \in F;$
$$p_1=\{A \in g: \ A=D(a,0,0), \ a \in F \},$$
$$p_2=\{A \in g: \ A=D(0,a,0), \ a \in F \},$$
$$p_3=\{A \in g: \ A=D(0,0,a), \ a \in F \}.$$
\hspace{14pt}Далее, рассмотрим на $p=p_1 \oplus p_2 \oplus p_3$
индуцированное формой Киллинга алгебры $g$ инвариантное скалярное
произведение: $\langle X,Y \rangle_0=- \frac{1}{2}Re \ trXY \
(F=C,H)$.

Построим в $p$ ортонормированный относительно $\langle X,Y
\rangle_0$ базис $\{ X_{\alpha \beta} \}$, где $\alpha=1,2,3, \
\beta = 1,2$ (при $F=C$), $\beta=1,\ldots, 4$ (при $F=H$),
$\alpha$ соответствует $p_{\alpha}$, $\beta$ -- базисному
элементу $F$. В этих обозначениях $X_{11}=D(1,0,0),\
X_{12}=D(i,0,0), \ X_{21}=D(0,1,0),\ X_{22}=D(0,i,0),\
X_{31}=D(0,0,1),\ X_{32}=D(0,0,i)$ и т.д.\\

Рассмотрим случай, когда $F=C$.

Пусть
$\{X_{11},X_{12},X_{21},X_{22},X_{31},X_{32},\\E_{1},E_{2}\}$ --
ортонормированный базис в $g=p \oplus h=p_1 \oplus p_2 \oplus p_3
\oplus h$ такой, что\\
$X_{11} = \pmatrix
0 &amp; 1 &amp; 0\\
-1 &amp; 0 &amp; 0\\
0 &amp; 0 &amp; 0\\
\endpmatrix,\\ X_{12} = \pmatrix
0 &amp; i &amp; 0\\
i &amp; 0 &amp; 0\\
0 &amp; 0 &amp; 0\\
\endpmatrix$ -- базис в $p_1$;\\
$X_{21} = \pmatrix
0 &amp; 0 &amp; 0\\
0 &amp; 0 &amp; 1\\
0 &amp; -1 &amp; 0\\
\endpmatrix,\\ X_{22} = \pmatrix
0 &amp; 0 &amp; 0\\
0 &amp; 0 &amp; i\\
0 &amp; i &amp; 0\\
\endpmatrix$ -- базис в $p_2$;\\
$X_{31} = \pmatrix
0 &amp; 0 &amp; 1\\
0 &amp; 0 &amp; 0\\
-1 &amp; 0 &amp; 0\\
\endpmatrix,\\ X_{32} = \pmatrix
0 &amp; 0 &amp; -i\\
0 &amp; 0 &amp; 0\\
-i &amp; 0 &amp; 0\\
\endpmatrix$ -- базис в $p_3$;\\
$E_{1} = \pmatrix
i &amp; 0 &amp; 0\\
0 &amp; -i &amp; 0\\
0 &amp; 0 &amp; 0\\
\endpmatrix,\\ E_{2} = \pmatrix
\frac{\sqrt{3}}{3}i &amp; 0 &amp; 0\\
0 &amp; \frac{\sqrt{3}}{3}i &amp; 0\\
0 &amp; 0 &amp; -2\frac{\sqrt{3}}{3}i\\
\endpmatrix$ -- базис в $h$.\\

Далее, найдем коэффициент пропорциональности из равенства
$$\langle X,Y \rangle=\lambda \cdot \langle X,Y \rangle_{0},$$

где $\langle X,Y \rangle=-B(X,Y)=-tr adX \circ adY,\quad \langle
X,Y \rangle _{0}=-\frac{1}{2}trXY$.

При $X=Y$ имеем $\langle X,X \rangle=\lambda \cdot (X,X)_{0}$ и
$\langle X,X \rangle_{0}=1$.

Отсюда получаем: $\lambda = \langle X,X \rangle = -tr (ad X)^2$.
Принимая $X = X_{11}$ прямыми матричными вычислениями получаем,
что $\lambda = 12$.

Далее находим константу Казимира\\

\end{multicols}

$A=\genfrac{[}{]}{0pt}{}{3}{12}= \sum_{\alpha,\beta,\gamma} (12
\langle [ \frac{1}{\sqrt{12}}X_{1\alpha}, \frac{1}{\sqrt{12}}X_{2
\beta}],\frac{1}{\sqrt{12}}X_{3\gamma}\rangle_0)^2=
\sum_{\alpha,\beta,\gamma} (12 \langle \frac{1}{12}
[X_{1\alpha},X_{2
\beta}],\frac{1}{\sqrt{12}}X_{3\gamma}\rangle_0)^2=\\=\frac{1}{12}\sum_{\alpha,\beta,\gamma}
(\langle [X_{1\alpha},X_{2
\beta}],X_{3\gamma}\rangle_0)^2=\frac{1}{12} \biggl( \Bigl(
\langle [X_{11},X_{21}],X_{31} \rangle_0 \Bigr)^2+\Bigl( \langle
[X_{11},X_{21}],X_{32} \rangle_0 \Bigr)^2+\\ +\Bigl( \langle
[X_{11},X_{22}],X_{31} \rangle_0 \Bigr)^2+\Bigl( \langle
[X_{11},X_{22}],X_{32} \rangle_0 \Bigl)^2+ \Bigl( \langle
[X_{12},X_{21}],X_{31} \rangle_0 \Bigl)^2+\Bigl( \langle
[X_{12},X_{21}],X_{32} \rangle_0 \Bigl)^2+\\ +\Bigl( \langle
[X_{12},X_{22}],X_{31} \rangle_0 \Bigl)^2+\Bigl( \langle
[X_{12},X_{22}],X_{32} \rangle_0 \Bigl)^2 \biggr)=
\frac{1}{12}\biggl(\Bigl( \langle X_{31},X_{31} \rangle_0
\Bigl)^2 +\Bigl( \langle X_{31},X_{32} \rangle_0
\Bigl)^2+\\+\Bigl( \langle -X_{32},X_{31} \rangle_0
\Bigl)^2+\Bigl( \langle -X_{32},X_{32} \rangle_0 \Bigl)^2+\Bigl(
\langle -X_{32},X_{31} \rangle_0 \Bigl)^2+\Bigl( \langle
-X_{32},X_{32} \rangle_0 \Bigl)^2+\Bigl( \langle -X_{31},X_{31}
\rangle_0 \Bigl)^2+\\+\Bigl( \langle -X_{31},X_{32} \rangle_0
\Bigl)^2 \biggl)=\frac{1}{12} \cdot 4=\frac{1}{3}.$

\begin{multicols}{2}

Таким образом $\alpha_i=\frac{d_i}{A}=6$, отсюда $a_i
=\frac{1}{6},\ i \in \{1,2,3\}$.

Подставляем в решение системы (7), получаем характеристические
числа метрик на многобразии флагов $SU/T_{max}$: $(1,1,1),\
(1,\frac{1}{2},\frac{1}{2}),\ (1,2,1),\ (1,1,2)$. Эти метрики
хорошо известны [2].\\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Рассмотрим случай, когда $F=H$.

Пусть $\{X_{11},\ X_{12},\ X_{13},\ X_{14},\ X_{21},\ X_{22},\\
X_{23},\ X_{24},\ X_{31},\ X_{32},\ X_{33},\ X_{34},\ E_{1},\
E_{2},\ E_{3},\\ E_{4},\ E_{5},\ E_{6},\ E_{7},\ E_{8},\ E_{9} \}$
-- ортонормированный базис в $g=p \oplus h=p_1 \oplus p_2 \oplus
p_3 \oplus h$, такой, что

$\{X_{11},X_{12},X_{13},X_{14}\}$ -- базис в $p_1$;

$\{X_{21},X_{22},X_{23},X_{24}\}$ -- базис в $p_2$;

$\{X_{31},X_{32},X_{33},X_{34}\}$ -- базис в $p_3$;

$\{E_{1},E_{2},E_{3},E_{4}, E_{5},E_{6},E_{7},E_{8},E_{9}\}$ --
базис в $h$, где

\end{multicols}

$X_{11} = \pmatrix
0 &amp; 1 &amp; 0\\
-1 &amp; 0 &amp; 0\\
0 &amp; 0 &amp; 0\\
\endpmatrix,\ X_{12} = \pmatrix
0 &amp; i &amp; 0\\
i &amp; 0 &amp; 0\\
0 &amp; 0 &amp; 0\\
\endpmatrix\ X_{13} = \pmatrix
0 &amp; j &amp; 0\\
j &amp; 0 &amp; 0\\
0 &amp; 0 &amp; 0\\
\endpmatrix,\ X_{14} = \pmatrix
0 &amp; k &amp; 0\\
k &amp; 0 &amp; 0\\
0 &amp; 0 &amp; 0\\
\endpmatrix$,\\

$X_{21} = \pmatrix
0 &amp; 0 &amp; 0\\
0 &amp; 0 &amp; 1\\
0 &amp; -1 &amp; 0\\
\endpmatrix,\ X_{22} = \pmatrix
0 &amp; 0 &amp; 0\\
0 &amp; 0 &amp; i\\
0 &amp; i &amp; 0\\
\endpmatrix \ X_{23} = \pmatrix
0 &amp; 0 &amp; 0\\
0 &amp; 0 &amp; j\\
0 &amp; j &amp; 0\\
\endpmatrix \ X_{24} = \pmatrix
0 &amp; 0 &amp; 0\\
0 &amp; 0 &amp; k\\
0 &amp; k &amp; 0\\
\endpmatrix$,\\

$X_{31} = \pmatrix
0 &amp; 0 &amp; 1\\
0 &amp; 0 &amp; 0\\
-1 &amp; 0 &amp; 0\\
\endpmatrix,\ X_{32} = \pmatrix
0 &amp; 0 &amp; -i\\
0 &amp; 0 &amp; 0\\
-i &amp; 0 &amp; 0\\
\endpmatrix,\ X_{33} = \pmatrix
0 &amp; 0 &amp; -j\\
0 &amp; 0 &amp; 0\\
-j &amp; 0 &amp; 0\\
\endpmatrix,\ X_{34} = \pmatrix
0 &amp; 0 &amp; -k\\
0 &amp; 0 &amp; 0\\
-k &amp; 0 &amp; 0\\
\endpmatrix$,\\

$E_{1} = \pmatrix
\sqrt{2}i &amp; 0 &amp; 0\\
0 &amp; 0 &amp; 0\\
0 &amp; 0 &amp; 0\\
\endpmatrix,\ E_{2} = \pmatrix
\sqrt{2}j &amp; 0 &amp; 0\\
0 &amp; 0 &amp; 0\\
0 &amp; 0 &amp; 0\\
\endpmatrix, \ E_{3} = \pmatrix
\sqrt{2}k &amp; 0 &amp; 0\\
0 &amp; 0 &amp; 0\\
0 &amp; 0 &amp; 0\\
\endpmatrix,$\\

$E_{4} = \pmatrix
0 &amp; 0 &amp; 0\\
0 &amp; \sqrt{2}i &amp; 0\\
0 &amp; 0 &amp; 0\\
\endpmatrix, \ E_{5} = \pmatrix
0 &amp; 0 &amp; 0\\
0 &amp; \sqrt{2}j &amp; 0\\
0 &amp; 0 &amp; 0\\
\endpmatrix, \ E_{6} = \pmatrix
0 &amp; 0 &amp; 0\\
0 &amp; \sqrt{2}k &amp; 0\\
0 &amp; 0 &amp; 0\\
\endpmatrix$,\\

$E_{4} = \pmatrix
0 &amp; 0 &amp; 0\\
0 &amp; 0 &amp; 0\\
0 &amp; 0 &amp; \sqrt{2}i\\
\endpmatrix, \ E_{5} = \pmatrix
0 &amp; 0 &amp; 0\\
0 &amp; 0 &amp; 0\\
0 &amp; 0 &amp; \sqrt{2}j\\
\endpmatrix, \ E_{6} = \pmatrix
0 &amp; 0 &amp; 0\\
0 &amp; 0 &amp; 0\\
0 &amp; 0 &amp; \sqrt{2}k\\
\endpmatrix$.\\

\begin{multicols}{2}

Далее найдем коэффициент пропорциональности из равенства $$\langle
X,Y \rangle=\lambda \cdot \langle X,Y \rangle_{0},$$

где $\langle X,Y \rangle=-B(X,Y)=-tr adX \circ adY,\quad \langle
X,Y \rangle _{0}=-\frac{1}{2}trXY$.

При $X=Y$ имеем $\langle X,X \rangle=\lambda \cdot (X,X)_{0}$ и
$\langle X,X \rangle_{0}=1$.

Отсюда получаем: $\lambda = \langle X,X \rangle = -tr (ad X)^2$.
Принимая $X = X_{11}$ прямыми матричными вычислениями получаем,
что $\lambda = 32$.

Далее находим константу Казимира

\end{multicols}

$A=\genfrac{[}{]}{0pt}{}{3}{12}= \sum_{\alpha,\beta,\gamma} (32
\langle [ \frac{1}{\sqrt{32}}X_{1\alpha},\frac{1}{\sqrt{32}}X_{2
\beta}],\frac{1}{\sqrt{32}}X_{3\gamma}\rangle_0)^2=
\sum_{\alpha,\beta,\gamma} (32 \langle \frac{1}{32}
[X_{1\alpha},X_{2
\beta}],\frac{1}{\sqrt{32}}X_{3\gamma}\rangle_0)^2=$

$=\frac{1}{32}\sum_{\alpha,\beta,\gamma} (\langle
[X_{1\alpha},X_{2 \beta}],X_{3\gamma}\rangle_0)^2=\frac{1}{32}
\cdot 16=\frac{1}{2}.$

\begin{multicols}{2}

Таким образом $\alpha_i=\frac{d_i}{A}=8$, отсюда $a_i
=\frac{1}{8},\ i \in \{1,2,3\}$.

Подставляем в решение системы (7), получаем характеристические
числа метрик на многобразии флагов $Sp(3)/Sp(1) \times Sp(1)
\times Sp(1)$: $(1,1,1),\ (1,\frac{1}{3},\frac{1}{3}),\ (1,3,1),\
(1,1,3)$. Эти метрики хорошо известны [2].
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center} {\bf Литература} \end{center}

[1] Wallach N. {\it Compact homogeneous riemannian manifolds with
strictly positive curvature.} // Ann. math. 1972. V. 96. P. 277 -
295.

[2] Родионов Е.Д. {\it Эйнштейновы метрики на четырехмерных
однородных пространствах, допускающие однородную риманову метрику
положительной секционной кривизны.} Сиб. мат. жур., т.32, №3,
1991, с.126 - 131.

[3] Никоноров  Ю.Г. {\it Об одном классе однородных компактных
многообразий Эйнштейна.} Сиб. мат. журн., т.41, №1, 2000, с. 200
- 205.

[4] Бессе А.Л. {\it Многообразия Эйнштейна.} М.: Мир, 1990.

[5] Wang M., Ziller W. {\it Existence and Non-existence of
Homogeneous Einstein Metrics} // Invent. math. 1986. - V. 84. - P.
177 - 194.

[6] Демидович Б.П., Марон И.А. {\it Основы вычислительной
математики:} Учебное пособие для втузов. - 3-е изд., испр. - М.:
Наука, 1966. - 664 с.

\end{multicols}


\end{document}
</pre></body></html>