\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[a4paper,margin=2cm]{geometry}

\begin{document}
\sloppy
\begin{center}
  В.А. Миненко

  $m-l$устойчивость решения неавтономной системы уравнений

  
\end{center}
УДК517.925


Рассматривается система 
\begin{equation}
\label{_1}
\frac{dx_i}{dt}=X_i(t,x_1,\ldots,x_n) \ (i=1,\ldots,n),
\end{equation}
где \(X_i=X_i(t,x_1,\ldots,x_n) \ (i=1,\ldots,n)\) непрерывны на множестве
\[D=\{(t,x_1,\ldots,x_n): |x_j|<H \ (j=1,\ldots,l);\ 
 -\infty<x_s<\infty (s=l+1,\ldots,n); t\in[\mbox{\b{t}};+\infty]\},\]
имеющая нулевое решение на $[\mbox{\b{t}};+\infty]$.

Решения системы (\ref{_1}) обладают свойством единственности; решения системы 
(\ref{_1}), начавшиеся 
на множестве $E=\{(x_1,\ldots,x_n):\ |x_k|<H\ (k=1,\ldots,m;1\leq l\leq m\leq n;);$ 
$|x_r|<+\infty (r=m+1,\ldots,n) \}$
продолжаемы по $t$ вправо.
	
Определение 1. Нулевое рещение системы (\ref{_1}) называется $m-l$устойивым,
если для любого $\varepsilon > 0$ и любого $t_0 \in [\mbox{\b{t}},+\infty)$
существует $\delta(\varepsilon;t_0)>0$ такое, что для любого решения
$x_i=x_i(t) \ (i=1,\ldots,n)$ системы (\ref{_1}), для которого $|x_k(t_0)|<\delta \ 
 (k=1,\ldots,m)$, выполняется $|x_j(t)|<\varepsilon \ (j=1,\ldots,l)$ при 
$t>t_0$.

Рассмотрим функции $V=V(t,x_1,\ldots,x_n)$, обладающие непрерывными частными
производными на множестве $D$, для которых 
\[V(t,0,\ldots,0,x_{m+1},\ldots,x_n)=0,\] при $t\in[\mbox{\b{t}},+\infty)$,
$|x_s|<+\infty \ (s=m+1,\ldots,n)$.

Следуя [1], введем определения.

Определение 2. Функция $V=V(t,x_1,\ldots,x_n)$ называется $l$-знакопостоянной,
если существует $0<h<H$ такое, что на множестве
\[P=\{(t,x_1,\ldots,x_n):|x_j|\leq h \ (j=1,\ldots,l);|x_s|<+\infty \ 
 (s=l+1,\ldots,n);t\in[\mbox{\b{t}},+\infty)\}\]
она принимает значения одного знака или нуль.

Определение 3. Функция $V=V(t,x_1,\ldots,x_n)$ назывется $l$-знакоопределенной 
положительной (отрицательной), если на множестве $P$ выполняется 
$V=V(t,x_1,\ldots,x_n) \geq W(x_1,\ldots,x_l)$ 
$\bigg(V=V(t,x_1,\ldots,x_n) \leq W(x_1,\ldots,x_l)\bigg)$, где $W(x_1,\ldots,x_l)$-
знакоопределенная положительная функция.

Определение 4. Будем говорить, что функция $V=V(t,x_1,\ldots,x_n)$ допускает 
$l$-бесконечно малый высший предел, если для любого $\lambda>0$ и любого 
$t_0 \in [\mbox{\b{t}};+\infty)$ существует положительное число $\mu(\lambda;t_0)$
 такое, что $|V(t,x_1,\ldots,x_n)|<\lambda$ при $|x_j| \leq \mu \ (j=1,\ldots,l)$;
 $|x_s|<+\infty \ (s=l+1,\ldots,n)$.

Теорема 1. Если для системы (\ref{_1}) существует $l$-знакоопределенная функция
, допускающая $m$-бесконечно малый высший предел, 
для которой производная в силу системы (\ref{_1}) есть функция $l$-знакопостоянная
знака противоположного с $V=V(t,x_1,\ldots,x_n)$, то нулевое решение системы
 $m-l$ устойчиво.

Доказательство. Допустим, что функция $V=V(t,x_1,\ldots,x_n)$ является $l$-
знакоопределенной положительной функцией, следовательно, существует $0<h<H$
такое, что на множестве $P$ выполняется 
\[V(t,x_1,\ldots,x_n) \geq W(x_1,\ldots,x_l),\]
\[\frac{dV}{dt}=\frac{\partial V(t,x_1,\ldots,x_n)}{\partial t}+
 \sum\limits_{i=1}^{n}\frac{\partial V(t,x_1,\ldots,x_n)}{\partial x_i}
 X_i(t,x_1,\ldots,x_n)\leq0, \]
где $W(x_1,\ldots,x_l)$ - знакоопределенная положительная функция.

Пусть $0<\varepsilon < h, \ a=\inf\limits_{x = \varepsilon}W(x_1,\ldots,x_l)$, 
$(x=\max\{|x_1|,\ldots,|x_l|\})$. Тогда на множестве
$L=\{(t,x_1,\ldots,x_n): \ x=\varepsilon,{|x|}_s<+\infty \ (s=l+1,\ldots,n);
   t \in [\mbox{\b{t}},+\infty)\}$
\begin{equation}
\label{_2}
V(t,x_1,\ldots,x_n)\geq a 
\end{equation}

Рассмотрим решение $x_i=x_i(t) \ (i=1,\ldots,n)$ системы (\ref{_1}), для 
которого $|x_k(t_0)|<\delta$ $(k=1,\ldots,m; \ t_0 \in [t,+\infty))$, где 
$0 < \delta < \varepsilon$ и настоько мало, что 
$V(t_0,x_1(t_0),\ldots,x_n(t_0)) < a$
Существование такого $\delta$ обеспечивает допущение функцией $V=V(t,x_1,\ldots,x_n)$ 
$m$-бесконечно малого высшего предела.

Покажем, что $|x_j(t)| < \varepsilon \ (j=1,\ldots,l)$ при $t > t_0$. 
Допустим, что это не так. Тогда существует $T>t_0$ такое, что 
$x(T)=\max\{|x_1(T)|,\ldots,x_l(T)\} = \varepsilon$ и, следовательно, на основании 
(\ref{_2}), $V(T,x_1(T),\ldots,x_n(T))\geq a$. но в силу того, что на множестве $P$ 
\[ \frac{dV}{dt} = \frac{\partial V(t,x_1,\ldots,x_n)}{\partial t} + 
   \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{\partial V(t,x_1,\ldots,x_n)}{\partial x_i}
   X_i(t,x_1,\ldots,x_n) \leq 0,\]
\[ V(T,x_1(T),\ldots,x_n(T)) \leq V(t_0,x_1(t_0),\ldots,x_n(t_0)) < a.\]
Полученное противоречие доказывает теорему.

Определение 5. Нулевое решение системы (\ref{_1}) будем называть асимптотическим 
$m-l$устойчивым, если оно $m-l$устойчиво и для любого $t_0 \in [\mbox{\b{t}},+\infty)$ 
существует $\delta(t_0) > 0$ такое, что для любого решения 
$x_i=x_i(t) \ (i=1,\ldots,n)$ системы (\ref{_1}), для которого 
$|x_k(t_0)| < \delta(t_0) \ (k=1,\ldots,m)$, выполняется 
$\lim\limits_{t\to+\infty} x_j(t)=0 \ (j=1,\ldots,l)$.

Теорема 2. Если существует функция $V=V(t,x_1,\ldots,x_n)$, $l$-знакоопределенная, 
допускающая $m$-бесконечно малый высший предел, и для любого 
$t_0 \in [\mbox{\b{t}}, +\infty)$ существует $\delta(t_0) > 0$ такие, что для 
любого решения $x_i=x_i(t) \ (i=1,\ldots,n)$ системы (\ref{_1}), для которого
$|x_k(t_0)| < \delta(t_0) \ (k=1,\ldots,m)$, 
$\lim\limits_{t \to +\infty} V(t,x_1(t),\ldots,x_n(t))=0$; 
$V=V(t,x_1(t),\ldots,x_n(t))$ убывает на промежутке $[t_0,+\infty)$, то нулевое
решение системы (\ref{_1}) асимптотически $m-l$устойчиво.

Доказательство. Пусть $V=V(t,x_1,\ldots,x_n)$ является $l$-знакоопределенной 
положительной функцией. Тогда существует $0<h<H$ такое, что на множестве $P$ 
выполняется $V(t,x_1,\ldots,x_n) \geq W(x_1,\ldots,x_l)$, где $W=W(x_1,\ldots,x_l)$ -
знакоопределенная положительная функция.

Пусть $0 < \varepsilon < h$ и 
$\lambda=\inf\limits_{x=\varepsilon}W(x_1,\ldots,x_l)$ 
$(x=\max\{|x_1|,\ldots,|x_l|\})$, $t_0 \in [\mbox{\b{t}},+\infty)$.
Тогда существует $0< \delta(t_0) < \varepsilon$ такое, что для любого решения
$x_i=x_i(t) \ (i=1,\ldots,x_n)$ системы (\ref{_1}), для которого 
$|x_k(t_0)| < \delta(t_0) \ (k=1,\ldots,m)$, 
$V(t_0,x_1(t_0),\ldots,x_n(t_0)) < \lambda$, 
$\lim\limits_{t \to +\infty}V(t,x_1(t),\ldots,x_n(t))=0$,
$V=V(t,x_1(t),\ldots,x_n(t))$ убывает на $[t_0,+\infty)$. 
Всилу $l$-знакоопределенности функции $V=V(t,x_1,\ldots,x_n)$, 
$\lim\limits_{t \to +\infty}x_j(t)=0 \ (j=1,\ldots,l)$. Покажем, что 
$|x_j(t)|<\varepsilon \ (j=1,\ldots,l)$ при $t \in (t_0,+\infty)$.
Действительно, так как функция $V=V(t,x_1(t),\ldots,x_n(t))$ убывает на 
$[t_0,+\infty)$, то $V(t,x_1(t),\ldots,x_n(t)) < V(t_0,x_1(t_0),\ldots,x_n(t_0))$
при $t \in (t_0, +\infty)$.
Если бы существовало число $T>t_0$ такое, что 
$x(T)=\max\{|x_1(T)|,\ldots,|x_l(T)|\} = \varepsilon$, то 
$V(T,x_1(T),\ldots,x_n(T)) \geq \lambda > V(t_0,x_1(t_0),\ldots,x_n(t_0))$,
что противоречит убыванию функции $V=V(t,x_1(t),\ldots,x_n(t))$ на $[t_0,+\infty)$.
Полученное противоречие доказывает теорему.

Отметим, что также как и в случае устойчивости относительно части переменных ([2]), 
для $m-l$устойчивости нулевого решения системы (\ref{_1}) имеют место аналоги 
и других теорем Ляпунова.

\begin{center}
Литература
\end{center}
\begin{enumerate}
 \item
   В.В. Румянцев. Об устойчивости движения по отношению к части переменных.
   Вестник МГУ, сер. матем., механика, физ., хим., астр., №4, 1957. с.9-16.
 \item
   А.С. Озирапер, В.В. Румянцев. Метод функций Ляпунова в задаче об 
   устойчивости движения относительно части переменных.
   ПММ,т.36,вып2,1972 с.364-384
\end{enumerate}

\end{document}