\documentclass[12pt,twoside]{article}
\usepackage{amsmath,amsopn,multicol,russian}
\setlength{\textwidth}{160mm}
\setlength{\textheight}{220mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ������� �ᯮ������� ��� ���४樨 ��
% �뢮�� �� �����
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\voffset -77pt
%\hoffset -75pt

\newtheorem{thm}{���६�}
%\newtheorem*{cor}{�����⢨�}
\newtheorem{lem}{�����}
%\newtheorem*{ytver}{�⢥ত����}
%\newtheorem*{proo}{������⥫��⢮}
\newtheorem{rmk}{����砭��}
%\newtheorem{deff}{��।������}
\language=1


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ��������� ���� ���������� ���஬:
% ��������� ����砥� � ᥡ� ���,
% �.�.�. ���஢,
% �������� ����,
% ��⪨� ��ਠ�� �������� ��� �������㫠,
% �.�.� ���஢ ��� ����������
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}

\refstepcounter{enumi}
\refstepcounter{thm}
\refstepcounter{lem}
\refstepcounter{rmk}


\author{�.�.~������஢}
\title
%[�� ����� ����� ����த��� ����⥩�����...]
{�� ����� ����� ����த��� ����⥩�����
�������ࠧ�� � ������⮩ ��㯯�� ��������}
\date{}



\thanks{����� �믮����� �� 䨭��ᮢ�� �����প� ���ᨩ᪮�� 䮭��
�㭤����⠫��� ��᫥������� (���� �஥�⮢ 01-01-06224,
00-15-96165, 99-01-00543).}


\maketitle
��� 514.765

\begin{multicols}{2}


� �⮩ ࠡ�� �� ���襬 ����ਠ��� ����⥩���� ���ਪ�
�� ����த��� ����࠭�⢠� $M_r=G/H_r$, ���
$$
G=SU(m_1)\times SU(m_2)\times ... \times SU(m_k),
$$
$$
H_r=SU(m_1-1) \times SU(m_2-1)\times \dots
$$
$$
\dots \times SU(m_k-1)\times T^{k-1}_r,
$$
$k \geq 2$, $m_l\geq 2$ ($1\leq l \leq k$),
$r=(r_1,r_2,...,r_k)$, $r_l$ --- 楫� �᫠ � �������訬 ��騬 ����⥫��
$1$, �
$k-1$-�� �� $T^{k-1}_r$ ���ᠭ ����.

���ᬮ�ਬ ��������
${\xi}_l:SU(m_l-1)\times S^1 \rightarrow SU(m_l)$,
��।����騥 ᨬ�����᪨� ����
$(SU(m_l), {\xi}_l(SU(m_l-1)\times U(1)))$.
����� ���㦭���� $S^1_r$ ������� � �� $T=(S^1)^m$
����栬� ����

\end{multicols}


$$
diag(e^{2{\pi}r_1i\theta},...,e^{2{\pi}r_1i\theta},
e^{-2(m_1-1){\pi}r_1i\theta})\times
...\times
$$
$$
\times
diag(e^{2{\pi}r_{k-1}i\theta},...,e^{2{\pi}r_{k-1}i\theta}, e^{-2(m_{k-1}-1)
{\pi}r_{k-1}i\theta})\times
$$
$$
\times
diag(e^{2{\pi}r_ki\theta},...,e^{2{\pi}r_ki\theta},
e^{-2(m_k-1){\pi}r_ki\theta}).
$$

\begin{multicols}{2}


����� $M=m_1+m_2+...+m_k$, ⮣�� ࠧ��୮��� ����࠭��
$M_r$ ࠢ�� $2M-2k+1$.

�।�⠢�� ������� �� $su(m_l)$ ��� ������� ����ନ⮢�� �����
� �㫥�� ᫥���. ��䨪��㥬 ������ਠ�⭮� ᪠��୮�
�ந�������� $(X,Y)_l=-\frac{1}{2}Re\, tr(XY)$
�� �⮩ ������.
�����୮� �ந�������� �� ������ �� $g$ ��㯯� $G$
��।���� �� ��㫥
$$
(\cdot ,\cdot)=(\cdot, \cdot)_1+...+(\cdot, \cdot)_{k-1}+(\cdot, \cdot)_k.
$$

� ������ �� $su(m_l)$ ($1\leq l\leq k$)
��ᬮ�ਬ ������ $E^l_j$, $F^l_j$
($1\leq j \leq m_l-1$) � $Z_l$, ��।��塞� ����.
����� $E_j^l$
--- �����, � ���ன �� ����祭��
$j$-�� ��ப� � $m_l$-�� �⮫�� (�� ����祭�� $m_l$-�� ��ப� �
$j$-�� �⮫��) ��室���� $1$ ($-1$), � ��⠫�� �������� ࠢ�� $0$;
$F_j^l$
--- �����, � ���ன �� ����祭��
$j$-�� ��ப� � $m_l$-�� �⮫��, � ⠪�� �� ����祭�� $m_l$-�� ��ப� �
$j$-�� �⮫�� ��室���� $i$ (������ ������),
� ��⠫�� �������� ࠢ�� $0$;

\end{multicols}


$$
Z_l=\sqrt{\frac{2}{m_l(m_l-1)}}diag(i,i,...,i,-(m_l-1)i).
$$

\begin{multicols}{2}


���ᬮ�ਬ ⠪�� �����
$$
Z=\frac{1}{\|r\|}\sum\limits_{l=1}^k r_lZ_l,
$$
��� $\|r\|=\sqrt{\sum\limits_{l=1}^k r_l^2}$.

��।���� �� $T^{k-1}_r$ ��� ��㯯� ��, ᮮ⢥��������
��������� $t$ --- ��⮣����쭮�� ���������� � $Z$ � $Lin(Z_1,Z_2,...,Z_k)$
(������ �� ��㯯� �� $T=(S^1)^k$) �⭮�⥫쭮 $(\cdot,\cdot)$.
����� $T^{k-1}_r$ 㤮���⢮��� �᫮��� $T=T^{k-1}_r\times S^1_r$.
����� ��ࠧ�� ��।������ ����� ����த��� ����࠭��
$M_r=G/H_r$, ���

\end{multicols}


$$
G=SU(m_1)\times SU(m_2)\times ... \times SU(m_k),
$$
$$
H_r=SU(m_1-1) \times SU(m_2-1)\times ...\times SU(m_k-1)\times T^{k-1}_r,
$$

\begin{multicols}{2}


� ���쭥�襬 �� �㤥� �।��������, �� $r_l\neq 0$ ��� ���
$1\leq l \leq k$. � ��⨢��� ��砥 �� ᢮����� � �ந��������
����த��� ����࠭��.


����㤭� 㡥������ � ⮬, �� �� ������ $E^l_j$, $F^l_j$, $Z_l$, $Z$
����୮ ��⮣������ � ����� �������� ����� �⭮�⥫쭮
᪠��୮�� �ந�������� $(\cdot,\cdot)$. �஬� ⮣�,
������ $E^l_j$, $F^l_j$ � $Z$ ��⮣������
��������� $h=h_r\subset g$ ��㯯� �� $H_r$.
�����
$$
p=Lin(E^l_j, F^l_j, Z),
$$
���
$1\leq l\leq k$ �
$1\leq j\leq m_l-1$,
⮣�� �� ����砥� $(\cdot ,\cdot)$-��⮣����쭮� ࠧ�������
$g=h\oplus p$.
��।���� ⥯��� ��� $1\leq l \leq k$ ���㫨
$$
p_l=Lin(E^l_j, F^l_j),
$$
���
$1\leq j\leq m_l-1$,
� $p_{k+1}=Lin(Z)$.

����㤭� ������, �� ����� ����� $p_i$
���� $ad_h$-����ਠ��� � $ad_h$-���ਢ�����, ��祬
$$
p=p_1\oplus p_2 \oplus ...\oplus p_{k+1}.
$$

\begin{lem}
�᫨ $M=m_1+...+m_k >4$
� $r_l \neq 0$ ($1\leq l \leq k$),
� �।� ��।������� ��� ���㫥�
$p_i$ ��� ����୮ ��������� �⭮�⥫쭮 ����⢨� ������� $h$.
\end{lem}

{\bf ������⥫��⢮.}
��᪮��� $d_{k+1}=dim(p_{k+1})=1$, $d_l=dim(p_l)=2(m_l-1)\geq 2$
($1\leq l\leq k$), � ����� $p_{k+1}$ �� ������䥭 �������� ��㣮�� �����.
������� ⥯���, �� ���㫨 $p_s$ � $p_t$, ��� $1\leq s,t \leq k$,
�� ����� �������묨.
����� ᭠砫� $k \geq 3$. ���ᬮ�ਬ �����஥ $1\leq q\leq k$,
�⫨筮� �� $s$ � $t$.
�����
$Y=r_sZ_q-r_qZ_s \in h$, ����⢨� ������ $ad_Y$ ���ਢ���쭮 ��
���㫥 $p_s$ � �ਢ���쭮 �� $p_t$.
����� ��ࠧ��, ���㫨 $p_s$ � $p_t$
� �⮬ ��砥 ����������.
����� ⥯��� $k=2$, $s=1$, $t=2$. ��᪮��� $M\geq 5$, ����� �����
$m_1\geq 3$. ��������� $su(m_1-1)$ ���ਢ���쭠 � ���ਢ���쭮 �������
�� $p_1$, � � �६� ��� �� ����⢨� �� $p_2$ �ਢ���쭮.
����� � � �⮬ ��砥, ���㫨 $p_s$ � $p_t$
� �⮬ ��砥 ����������.
����� ��������.

\begin{rmk}
� ��砥, ����� $k=2$, $m_1=m_2=2$
���㫨 $p_1$ � $p_2$ ⠪�� ����୮ ����������, �஬� ����
$r=(\pm 1, \pm 1)$.
�� �������� � \cite{R3, Alek}.
\end{rmk}


�᭮��� १���⮬ �����饣� ��ࠣ�� ���� ᫥�����

\begin{thm}
������ ����࠭�⢮ $M_r$ �� $M=m_1+...+m_k >4$
� $r_l \neq 0$ ($1\leq l \leq k$)
����᪠�� ஢�� ����, � �筮���� �� ������ਨ � �����⨨,
����ਠ���� ���ਪ� ����⥩��.
\end{thm}

{\bf ������⥫��⢮.}
���ᬮ�ਬ �ந����쭮� ����⥩����
$ad_h$-��\-��\-�\-��⭮�
᪠��୮� �ந��������
$\langle \cdot , \cdot \rangle$
��
$p$.
�᫨ �ਢ��� �����६����
���
$\langle \cdot , \cdot \rangle$
�
$(\cdot ,\cdot)$ �� ���㫥 $p$
� ��������쭮�� ����, �, ᮣ��᭮ ����� ���,
�� ����稬, ��

\end{multicols}


$$
\langle \cdot , \cdot \rangle=
x_1 \cdot (\cdot ,\cdot)|_{p_1}+
x_2 \cdot (\cdot ,\cdot)|_{p_2}+...
+x_k \cdot (\cdot ,\cdot)|_{p_k}+
x_{k+1} \cdot (\cdot ,\cdot)|_{p_{k+1}}
$$

\begin{multicols}{2}


��� �������� ������⥫���
$x_i$.

���
$a,b,c \in \{1,2,...,k+1 \}$
��।���� ᨬ����
$\left[
\begin{array}{c}
c
\\
a\,b
\\
\end{array}
\right]$
ࠢ���⢮�
$$
\left[
\begin{array}{c}
c
\\
a\,b
\\
\end{array}
\right]
=
\sum\limits_{\alpha, \beta ,\gamma}
([e_{\alpha}^a, e_{\beta}^b], e_{\gamma}^c )^2,
$$
���
$e_{\alpha}^a$, $e_{\beta}^b$, $e_{\gamma}^c$ ���������
������ ��⮭�ନ஢������ ����� � ������ $p_a$, $p_b$, $p_c$
ᮮ⢥��⢥���.
�� ����\-��\-�\-��⭮�� ᪠��୮�� �ந�������� ᫥��� ᨬ����筮���
��������� ᨬ����� �⭮�⥫쭮 ��� ��� �����ᮢ.
����� ��� $1 \leq i \leq k+1$ �᫠ $b_i$
��।������� ࠢ���⢮�  $-B(X,Y)|_{p_i}=b_i\cdot (X,Y)$,
��� �१ $B$ ������祭� �ଠ �������� ������� $g$.
����㤭� 㡥������ � ⮬, �� $b_l=4m_l$ ��� $1\leq l\leq k$,
$$
b_{k+1}=\frac{4}{\|r\|^2}\sum\limits_{l=1}^km_lr_l^2.
$$

����� ����� �஢������� ᮮ⭮襭��
$[p_a,p_b]=0$ � $[p_a,p_a]\subset h\oplus p_{k+1}$
�� $1\leq a,b \leq k$ � $a\neq b$,
$[Z_l,E^l_j]=\sqrt{\frac{2m_l}{m_l-1}}F^l_j$,
$[Z_l,F^l_j]=-\sqrt{\frac{2m_l}{m_l-1}}E^l_j$
��
$1\leq l \leq k$
� $1\leq j\leq m_l-1$,
$\left[
\begin{array}{c}
k+1
\\
l\,l
\\
\end{array}
\right]
= \frac{4m_lr_l^2}{\|r\|^2}
$
��
$1\leq l \leq k$.

�������� १���⠬� ࠡ��� \cite{WZ3},
����稬 ��ࠦ����
��� ᪠��୮� �ਢ���� $S$ ���ਪ�
$\langle \cdot , \cdot \rangle$, � ������

\end{multicols}


$$
S=S(\langle \cdot , \cdot \rangle)=
\sum\limits_{l=1}^k \frac{4m_l(m_l-1)}{x_l}-
\sum\limits_{l=1}^k
\frac{m_lr_l^2}{\|r\|^2}.
\frac{x_{k+1}}{x_l^2}.
$$

\begin{multicols}{2}


��� ��宦����� ���ਪ ����⥩�� ��ᯮ��㥬�� ��ਠ樮��� �ਭ樯��.
�᫮��� �� ��ꥬ ��ࠦ����� ��㫮�
$\prod\limits_{l=1}^kx_l^{2(m_l-1)}\cdot x_{k+1}=1$.
�믨襬 �᫮��� ���筮�� �窨 ��� �㭪樨 ���࠭��
$$
\tilde{S}=S-
\lambda
\left(
\prod\limits_{l=1}^kx_l^{2(m_l-1)}\cdot x_{k+1}-1
\right).
$$
�᫮��� ���筮�� �� $x_l$ ($1\leq l\leq k$) ���������⭮ �ࠢ�����

\end{multicols}


$$
-\lambda(m_l-1)x_l^2-2m_l(m_l-1)x_l+\frac{m_lr_l^2}{\|r\|^2}x_{k+1}=0.
$$

\begin{multicols}{2}


�᫮��� ���筮�� �� $x_{k+1}$ ����� ���
$$
-\lambda=x_{k+1}
\left(
\sum\limits_{l=1}^k \frac{m_lr_l^2}{\|r\|^2x_l^2}
\right).
$$
������ ᮢ���⭮� �襭�� ��� �ࠢ�����, ������� $\lambda=-1$
(�� �� ��࠭�稢��� ��魮��, ��᪮��� �� ��������㥬
����⥩���� ���ਪ� � �筮���� �� �ய��樮���쭮�� � ������ਨ).

�� ����� $k$ �ࠢ����� ��室��, ��

\end{multicols}


$$
x_l=P_l^{+}=
m_l+\sqrt{\frac{m_l}{m_l-1}
\left( m_l(m_l-1)-\frac{r_l^2}{\|r\|^2}x_{k+1} \right)}
$$
���
$$
x_l=P_l^{-}=m_l-\sqrt{\frac{m_l}{m_l-1}\left(m_l(m_l-1)-
\frac{r_l^2}{\|r\|^2}x_{k+1} \right)}.
$$

\begin{multicols}{2}


����室��� �᫮���� ����⢮����� ⠪�� �襭�� ���� ������⥫쭮���
���ਬ����� �����⭮�� �ࠢ�����, � ���� ������ �믮������� ��ࠢ���⢮
$x_{k+1}\leq Q_l=\frac{m_l(m_l-1)\|r\|^2}{r_l^2}$.
��� ��࠭�祭�� ��魮�� ����� �����, ��
$Q_1\leq Q_l$ �� $1\leq l\leq k$.
����� ��ࠧ��, $x_{k+1} \in (0,Q_1]$.

������ �������, �� �� ᠬ�� ���� ��� ��� $l$ ������ �믮������� ࠢ���⢮
$x_l=P^{+}_l$.
�����⨬, ��
$x_l=P^{-}_l$. �����

\end{multicols}


$$
\frac{m_lr_l^2}{\|r\|^2(P^{-}_l)^2}=
\frac{m_lr_l^2(P^{+}_l)^2}{\|r\|^2}
\left(
\frac{\|r\|^2(m_l-1)}{r_l^2m_lx_{k+1}}
\right)^2=
\frac{\|r\|^2 (m_l-1)^2(P^{+}_l)^2}{r_l^2m_lx_{k+1}^2}.
$$

\begin{multicols}{2}


��᪮��� $m_l(m_l-1)\|r\|^2\geq r_l^2x_{k+1}$ (����室���� �᫮���),
$P^{+}_l\geq m_l$, � �� ��᫥����� ��ࠢ���⢠ ᫥���

\end{multicols}


$$
\frac{m_lr_l^2}{\|r\|^2(P^{-}_l)^2}\geq \frac{(m_l-1)}{x_{k+1}}\geq
\frac{1}{x_{k+1}},
$$
�� ⮣��
$$
1=x_{k+1}
\left(
\sum\limits_{l=1}^k \frac{m_lr_l^2}{\|r\|^2x_l^2}
\right)> x_{k+1}\frac{1}{x_{k+1}}=1,
$$

\begin{multicols}{2}


祣� �� ����� ����.
����� ��ࠧ��, $x_l=P^{+}_l$.
��।���� �㭪�� $f$ ࠢ���⢮�

\end{multicols}


$$
f(y)=y
\left(
\sum\limits_{l=1}^k \frac{m_lr_l^2}{\|r\|^2(f_l(y))^2}
\right),
$$
���
$$
f_l(y)=
m_l+\sqrt{\frac{m_l}{m_l-1}\left(m_l(m_l-1)-
\frac{r_l^2}{\|r\|^2}y\right)}.
$$

\begin{multicols}{2}


�㭪�� $f$ ���४⭮ ��।����� � �����뢭� �� $� \in [0,Q_1]$.
������ �襭�� �ࠢ����� $f(y)=1$ �� �஬���⪥ $(0,Q_1]$
��।���� ����ਠ���� ����⥩���� ���ਪ�, �, ��� �������� ���,
��㣨� ����ਠ���� ����⥩����� ���ਪ ���� �� �����.
����⢨⥫쭮, ������� $x_{k+1}=y$ ($y$ ---
�襭�� $f(y)=1$), �� �������筮 ��室�� $x_l=f_l(y)$.

������� ⥯���, �� �ࠢ�����
$f(y)=1$ ����� ஢�� ���� �襭�� �� �஬���⪥ $(0,Q_1]$.
�祢����, �� �� �㭪樨 $f_l$ ��ண� �뢠�� �� ��१��
$[0,Q_1]$, ���⮬�
�㭪�� $f$ ���� ��ண� �������饩 �� ⮬ �� ��१��.
����� ��ࠧ��, ������� �� ����� ������ �襭�� �ࠢ����� $f(y)=1$ ��
$(0,Q_1]$.

�஬� ⮣�, $f(0)=0$ � $f(Q_1) \geq 1$,
��᪮��� $f_1(Q_1)=m_1$,
$Q_1=\frac{m_1(m_1-1)\|r\|^2}{r_1^2}$
�

\end{multicols}


$$
f(Q_1)=
\frac{m_1(m_1-1)\|r\|^2}{r_1^2}
\left(
\sum\limits_{l=1}^k \frac{m_lr_l^2}{\|r\|^2(f_l(Q_1))^2}
\right)>
$$
$$
>\frac{m_1(m_1-1)\|r\|^2}{r_1^2}
\frac{m_1r_1^2}{\|r\|^2(f_l(Q_1))^2}=
m_1-1\geq 1.
$$

\begin{multicols}{2}


����� ��ࠧ��, ᮣ��᭮ ⥮६� � �஬����筮� ���祭��,
������� $y\in (0,Q_1]$ ⠪��, �� $f(y)=1$.
��᪮��� ��� �����⢥������ �뫠 ��⠭������ ���, ⥮६�
��������� ��������.

\begin{rmk}
���ᬮ�७��� ���� ⥮६� � ��砥 $m_1=m_2=...=m_k=2$
�������� �.�.~��������� \cite{R3}.
� ���� ���㦤����� ���� ��஢����� ���� ����� ��।������� ஫�.
\end{rmk}


\begin{rmk}
����⥩���� ����ਠ��� ���ਪ�, ����祭�� � �⮬ ��ࠣ��,
� ��砥 $(k,m_1,m_2)=(2,n+1,2)$ �뫨 ������� M.~����� � �.~�����஬
\cite{WZ4,Bes}.
� ���㥬�� ࠡ��� ��� ����祭� �� ����� ������� $S^1$-��᫮����
$S^{2n+1}\times S^2 \rightarrow CP^n \times CP^1$
� ࠧ���묨 ����ᠬ� �����.
����࠭�⢮ $M_r$ � �⮬ ��砥 ���䥮���䭮
$S^{2n+1}\times S^2$.
\end{rmk}




\end{multicols}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ����������
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{thebibliography}{9}
\bibitem{Bes}
����~�.�. �������ࠧ�� ����⥩��. �.: ���, 1990.
\bibitem{R3}
Rodionov E.D. Einstein metrics on a class of 5-dimensional
homogeneous spaces // Comm. Math. Univ. Carolinae.- 1991.- V.32.
N 2.- P.389-393.
\bibitem{Alek}
Alekseevsky D., Isabel Dotti, Ferraris S.
Homogeneous Ricci positive 5-manifolds //
Pacific Journal of Mathematics.-1996.- V.175.- P.1-12.
\bibitem{WZ3}
Wang M., Ziller W. Existence and  Non-existence of
Homogeneous Einstein Metrics // Invent. Math.- 1986.- V.84.-
P.177-194.
\bibitem{WZ4}
Wang M., Ziller W.
Einstein metrics on principal bundles //
J. Diff. Geom.- 1990.- V.31.- P.215-248.


\end{thebibliography}

\end{document}