\documentclass[10pt,twoside]{report}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{srcltx}
\usepackage{amsthm,amsmath,amsopn,amssymb,multicol}
\voffset -2.8cm \hoffset -1.9cm \textwidth 170mm \textheight 250mm


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{graphicx}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{remark}{Замечание}
%\newtheorem{proof}{Доказательство}
\DeclareMathOperator{\innt}{int }
\DeclareMathOperator{\Conv}{Conv}
\DeclareMathOperator*{\lt}{\overline{lt}}
\DeclareMathOperator{\Cntg}{Cntg}
\begin{document}



\newpage
УДК 514.765

И.В.~Поликанова


 Некоторые характеристики вееров нормалей





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{multicols}{2}






\section*{1. Опорные шары}

Введем обозначения. $E^n$ -- $n$-мерное евклидово пространство,
$|XY|$ -- расстояние между точками $X$ и $Y$. Если $F\subset E^n$,
то $\innt F$, $\partial F$, $\Conv F$ -- соответственно
внутренность, граница и замкнутая выпуклая множества $F$,
$\lt\limits_{Y\rightarrow X}D_Y$ -- верхний предел семейства
множеств $\left( D_Y\right)_{Y\in F}$ в предельной точке $X\in
F$. Если $K$ -- выпуклый конус, то $K^\star$ -- полярный к нему
конус -- объединение всех лучей, исходящих из вершины конуса $K$ и
составляющих со всеми лучами конуса $K$ не острый угол. $B(X,r)$
-- замкнутый шар с центром радиуса .

\begin{definition} Шар $B(X,r)$ назовем опорным к множеству $F$ в точке $Y\in
F$, если $Y\in
\partial B(X,r)$, а внутренность шара $B(X,r)$ не содержит точек
множества  $F$.
\end{definition}
Отметим без доказательства следующие легко проверяемые свойства опорных
шаров:

\begin{enumerate}
\item  Если $F$ замкнутое множество, то
для любой точки $X\notin F$ существует опорный шар к
$\ $с центром $X$ .

\item  Если $B(X,r)$-опорный шар к $F\ $в точке $X_{0}$, то для каждой
точки $Y\in \lbrack XX_{0}]$ шар $B(Y,r_{1})$, где $r_{1}=\left|
YX_{0}\right| $, также является опорным к $F$.

\item  Если $B(X_{1},r_{1})$, $B(X_{2},r_{2})$ -два опорных шара к
множеству $F$ в одной и той же точке $Y\in F$, то для любой
точки $X\in \lbrack X_{1}X_{2}]$ шар $B(X,r)$, где
$r=\left| XY\right| $, является опорным к $F$.

\item  Если последовательность опорных к множеству $F$ шаров сходится к
некоторому шару $B$, то $B$ -опорный шар к $F$.
\end{enumerate}

\section*{2. Вееры нормалей.}

\begin{definition} Веером нормалей множества $F$ в точке $X\in F$ называется множество всех
точек пространства $E^{n}$, для которых $X$ -ближайшая точка множества
$F$. Обозначим его $D_{X}F$.
\end{definition}
Используя свойства опорных шаров, нетрудно установить следующие свойства
вееров нормалей:

\begin{enumerate}
\item  $D_{X}F$-множество центров всех опорных шаров к $F$\ в точке $X$.

\item  $D_{X}F$-замкнутое выпуклое множество.

\item  $F\cap D_{X}F=X$.

\item  $\lt\limits_{Y\rightarrow X}D_{Y}F\subset D_{X}F$.

\item  Если $F_{1}\subset F_{2}$ и $X\in F_{1}$,
то $D_{X}F_{2}\subset D_{X}F_{1}$.

\item  В каждой граничной точке $X$ выпуклого множества веер
нормалей $D_{X}F$ есть выпуклый конус - конус нормалей к $F$
(объединение всех лучей, исходящих из $X$, каждый из которых
перпендикулярен некоторой опорной гиперплоскости к $F$ и направлен в
ограниченное ею полупространство, не содержащее $F$ ).
\end{enumerate}
\begin{theorem}
Веер нормалей $D_{X}F$ содержит лучи тогда и только тогда, когда
$X\in \partial \Conv F$. Объединение лучей, исходящих из $X$ и
содержащихся в $D_{X}F$ - есть замкнутый выпуклый конус $N(X)$,
являющийся нормальным к $\Conv F$ в точке $X$.
\end{theorem}


\begin{proof}
Пусть $X\in \partial \Conv F$, $N(X)$- конус нормалей к $\Conv F$
в точке $X$. По свойствам 5, 6 вееров нормалей $N(X)=D_{X}\Conv
F\subset D_{X}F$. Поэтому $D_{X}F$ содержит луч. Пусть теперь
веер нормалей $D_{X}F$ содержит луч $l$\ с началом $X$. Обозначим
через $\sigma $ ,гиперплоскость, проходящую через точку $X$
перпендикулярно лучу $l$. Тогда все шары с центрами на $l$,
содержащие точку $X$ на своей границе, будут опорными к $F$. Их
объединение состоит из открытого полупространства с границей
$\sigma $ и точки $X$ и не имеет с $F$ других общих точек кроме
$X$. Следовательно $\sigma $\ - опорная гиперплоскость к $F$ в
точке $X$, а значит, и к $\Conv F$. Поэтому $X\in \partial \Conv
F$, а $l\in N(X)$. Таким образом, объединение всех исходящих из
$X$ лучей, содержащихся в $D_{X}F$, совпадает с конусом $N(X)$.
\end{proof}


\begin{lemma}
Если $Z\in D_{X}F\cap D_{Y}F$, то $\left| ZX\right| =\left|
ZY\right| $.
\end{lemma}
\begin{proof}
Из того , что $Z\in D_{X}F$
следует, что
$\left| ZX\right| \geq \left| ZA\right| $ для всех $A\in F$, в
частности $\left| ZX\right| \geq \left| ZY\right| $. По той же причине из
того, что $Z\in D_{Y}F$ вытекает
неравенство $\left| ZY\right| \geq \left| ZX\right| $ . Поэтому для
$Z\in D_{X}F\cap D_{Y}F$ выполняется
равенство $\left| ZX\right| =\left| ZY\right| $.
\end{proof}

\begin{theorem}
Для любых двух точек $X,Y\in F$ вееры нормалей $D_{X}F$ и
$D_{Y}F$ лежат по разные стороны гиперплоскости $\sigma $,
проходящей через середину отрезка $[XY]$ перпендикулярно ему, и
$D_{X}F\cap D_{Y}F=D_{X}F\cap \sigma =D_{Y}F\cap \sigma $.
\end{theorem}


\begin{proof} Пусть гиперплоскость $\sigma $ проходит через
середину отрезка $[XY]$ , где $X,Y\in F$ . Если бы точка $Z\in
D_{Y}F$ лежала по другую сторону гиперплоскости $\sigma $ от
точки $Y$ , то имели бы $\left| XZ\right| <\left| ZY\right| $.
Тогда шар $B(Z,r)$ радиуса $r=\left| ZY\right| $ , являющийся
опорным к $F$ в точке $X$, содержал бы точку $X\in F$ внутри
себя, что противоречит определению опорного шара. Следовательно,
все точки веера нормалей $D_{Y}F$ лежат по ту же сторону
гиперплоскости $\sigma $, что и $Y$. Поскольку точки $X$ и $Y$
лежат по разные стороны гиперплоскости $\sigma $, то и вееры
нормалей $D_{X}F$ и $D_{Y}F$ лежат по разные стороны от нее.
Пусть $Z\in D_{X}F\cap D_{Y}F$ . Согласно лемме 1 $\left|
ZX\right| =\left| ZY\right| $. Значит $Z\in \sigma $. Поэтому
$Z\in D_{X}F\cap \sigma $ . Включение $D_{X}F\cap D_{Y}F\subset
D_{X}F\cap \sigma $ доказано.

Пусть теперь $Z\in D_{X}F\cap \sigma $ . Из условия $Z\in \sigma $ следует,
что $\left| ZX\right| =\left|
ZY\right| $ . Тогда $Y\in \partial B(Z,r)$, где $r=\left| XZ\right| $.
Так как $Z\in D_{X}F$, то шар $B(Z,r)$ - опорный к $F$ в точке $X$, а
значит, и
в точке $Y$. Поэтому $Z\in D_{Y}F$, откуда
имеем $Z\in D_{X}F\cap D_{Y}F$. Обратное включение:
$D_{X}F\cap \sigma \subset D_{X}F\cap D_{Y}F$ также установлено. Тем
самым доказано равенство: $D_{X}F\cap
\sigma =D_{X}F\cap D_{Y}F$ . Второе равенство получаем из данного
заменой символов $X\leftrightarrow Y$.
\end{proof}


\begin{theorem}
Пусть $X,Y\in F$, $[XY]\in \partial (\Conv F)$ и $D_{X}F\cap
D_{Y}F\neq \emptyset $. Тогда $D_{X}F\cap D_{Y}F$ содержит луч,
перпендикулярный отрезку $[XY]$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Пусть $Z\in D_{X}F\cap D_{Y}F$. Так как $[XY]\in \partial (\Conv
F)$, то в конусе нормалей $N(X)$ к $\Conv F$ в точке $X$
содержится луч $l$, перпендикулярный прямой$XY$ . По теореме 1
луч $l\subset D_{X}F$. Из выпуклости множества $D_{X}F$ следует,
что луч $l_{1}$, получающийся из $l$ сдвигом на вектор
$\overrightarrow{XZ}$, также содержится в $D_{X}F$. По теореме 2
точка $Z\in D_{X}F\cap \sigma $. Поэтому и луч $l_{1}\subset
D_{X}F\cap \sigma $ где $\sigma$ -- гиперплоскость проходящая
через середину отрезка $[XY]$ перпендикулярно ему. Опять по
теореме 2 $l_{1}\subset D_{X}F\cap D_{Y}F$.
\end{proof}

\begin{theorem}
$D_{X}F$ \ совпадает с пересечением всех полупространств,
содержащих точку $X$ и ограниченных гиперплоскостями, проходящими
через середины отрезков $[XY]$ таких, что $Y\in F$,и
перпендикулярных им.
\end{theorem}

\begin{proof}
Пусть $D$ - пересечение указанных полупространств. По теореме 2
$\ D_{X}F\subset D$. Докажем обратное включение. Пусть $Z\in D$ .
Тогда шар $B(Z,r)$, где $r=\left| ZX\right| $, не содержит внутри
себя точек множества $F$. Действительно, если бы $Y\in \int
B(Z,r)$, тогда точка $Z$ лежала бы по другую сторону
гиперплоскости $\sigma $, проходящей через середину отрезка $[XY]$
перпендикулярно ему , от точки $X$, что противоречит определению
множества $D$. Следовательно, шар $B(Z,r)$ - опорный к $F$ в
точке $X$ и $Z\in D_{X}F$. Поэтому $D\subset D_{X}F$. Итак,
$D=D_{X}F$.
\end{proof}

\section*{3. Контингенция.}
\begin{definition}
Говорят, что последовательность точек $(X_{i})$ сходится к точке
$X$ вдоль луча $l$, исходящего из $X$, если $X_{i}\rightarrow X$
и $\left[ XX_{i}\right) \rightarrow l$ при $i\rightarrow \infty
$. Касательным лучом к $F$ в точке $X\in F$ назовем луч с началом
в этой точке $X$ , вдоль которого сходится к $X$ некоторая
последовательность точек множества $F$. Объединение всех
касательных лучей к $F$ в точке $X$ называется контингенцией
множества $F$ в точке $X$. Обозначение $\Cntg_{X}F$.
\end{definition}
Нетрудно убедится в справедливости следующих свойств контингенции:

\begin{enumerate}
\item  $\Cntg_{X}F$ - замкнутый конус.

\item  Если $X\in
F_{1}\cap F_{2}$, то

\begin{enumerate}
\item[а)]  $\Cntg_{X}F_{1}\cap F_{2}\subset \Cntg_{X}F_{1}\cap \Cntg_{X}F_{2}$

\item[б)]  $\Cntg_{X}F_{1}\cap F_{2}=\Cntg_{X}F_{1}\cup \Cntg_{X}F_{2}$

\item[в)]  $\Cntg_{X}F_{1}\subset \Cntg_{X}F_{2}$, если $F_{1}\subset F_{2}$
\end{enumerate}

\item  $\partial \Cntg_{X}F\subset \Cntg_{X}\partial F$.
\end{enumerate}

\begin{theorem}
\begin{equation}
\Cntg_{X}(D_{X}F)\subset \lbrack \Conv\Cntg_{X}F]^{\star }
\end{equation}

Причем, если  $\Conv\Cntg_{X}F$ не содержит прямых, то достигается
равенство
\begin{equation}
\Cntg_{X}(D_{X}F)=[\Conv\Cntg_{X}F]^{\star }
\end{equation}
\end{theorem}

\begin{proof}
Для проверки формулы (1) достаточно показать, что всякий луч $l\in
\Cntg_{X}(D_{X}F)$ составляет с каждым лучом $m\in \Cntg_{X}F$
неострый угол. Пусть $l$ и $m$ указанные лучи. Тогда найдется
последовательность точек $\left( Y_{j}\in F\right) $, сходящаяся
к $X$ вдоль луча $m$,и $\left( X_{i}\in D_{X}F\right) $,
сходящаяся к $X$ вдоль луча $l$. Каждая точка $X_{i}$ является
центром опорного шара $B_{i}$ к $F$ в точке $X$. Поэтому точки
$Y_{j}$, $j=1,2,...$, или не принадлежат шару $B_{i}$, или лежат
на его границе. Следовательно, предельный луч $m=\lt_{j\rightarrow
\infty }\left[ XY_{j}\right) $ либо перпендикулярен лучу $\left[
XX_{i}\right) $, либо составляет с ним тупой угол. А так как это
справедливо для всех лучей $\left[ XX_{i}\right) $, \
$i=1,2,...$, то он составляет неострый угол и с предельным лучом
$l=\lt\limits_{i\rightarrow \infty }\left[ XX_{i}\right) $, что и
требовалось установить.

 \centering
\scalebox{1}[1]{\includegraphics[angle=0,totalheight=50mm]{pic2.eps}}

Если выпуклый конус $\Conv\Cntg_{X}F$ не содержит прямых, то
вокруг него можно описать круговой конус. Поэтому полярный к нему
конус - невырожденный $n$ -мерный. Пусть $l_{1}\in
\int[\Conv\Cntg_{X}F]^{\star }$. Покажем, что найдется шар $B(Y)$
с центром $Y\in l_{1}$ опорный к $F$ в точке $X$. Допустим, что
это не так. Тогда имеется последовательность шаров $\left(
U_{i}\right) $ таких, что $X\in \partial U_{i}$, центры их лежат
на луче $l_{1}$ и сходятся при $i\rightarrow \infty $ к $X$, и
внутри каждого шара $U_{i}$ существует точка $X_{i}\in F$. Ясно,
что $X_{i}\rightarrow X$ при $i\rightarrow \infty $. Из
последовательности $\left( X_{i}\right) $ можно выбрать
подпоследовательность, сходящуюся к $X$ вдоль некоторого луча $\
m_{1}\in \Cntg_{X}F$. Поскольку все лучи $\left[ XX_{i}\right) $,
\ $i=1,2,...$, составляют с лучом $l_{1}$ острые углы, то луч
$l_{1}$ составляет с лучом $m_{1}$ угол острый или прямой, тогда
как, будучи внутренним лучом полярного конуса к $\Conv\Cntg_{X}F$,
он должен быть тупым. Получили противоречие, доказывающее
существование опорного шара $B(Y)$ к $F$ в точке $X$, центр
которого $Y\in l_{1}$. Тогда $\left[ XY\right] \subset D_{F}(X)$
и луч $l_{1}\subset \Cntg_{X}(D_{X}F)$. Доказали включение
$$int[\Conv\Cntg_{X}F]^{\star }\subset \Cntg_{X}(D_{X}F).$$

А ввиду замкнутости конуса $\Cntg_{X}(D_{X}F)$ имеем включение
$[\Conv\Cntg_{X}F]^{\star }\subset \Cntg_{X}(D_{X}F)$.

Вместе с (1) оно доказывает равенство
(2).
\end{proof}

\begin{remark} Для произвольного множества $F$ равенство (2) может не
выполняться. Из доказательства теоремы видно, как можно
сконструировать такое множество.
\end{remark}



Пусть $l_{0},m_{0}$- два взаимно перпендикулярных луча на плоскости,
исходящие из точки $X$; $l,m$\ - содержащие их прямые. Возьмем
последовательность окружностей $\left( S_{i}\right) $, проходящих через
точку $X$, центры которых лежат на луче $l_{0}$ и сходятся
при $i\rightarrow \infty $ к $X$. Зададим также последовательность
лучей $\left( m_{i}\right) $ с началом $X$, расположенных внутри прямого
угла, образованного лучами $l_{0}$ и $m_{0}$, такую,
что $m_{i}\rightarrow m_{0}$ при $i\rightarrow \infty $. Множество $F$
состоит из точки $X$, всех точек
$M_{i}=S_{i}\cap m_{i}$, \ $i=1,2,...$, а также всех симметричных им
точек относительно прямых $l,m$, и центра $X$. Тогда $Cntg_{X}F=m$. В силу
теоремы $Cntg_{X}(D_{X}F)\subset l$. Значит и $D_{X}F\subset l$. Однако
всякий круг с центром в точке на прямой $l$, граница которого проходит через
точку $X$, будет содержать внутри себя
( в своей внутренности) точки множества $F$. Поэтому не существует
опорного круга к $F$ в точке $X$. Значит $D_{X}F=X$.

\centering
\scalebox{1}[1]{\includegraphics[angle=0,totalheight=60mm]{pic1.eps}}

\begin{remark} Из свойства 6 вееров нормалей следует, сто если \ $F$- выпуклое
множество, то равенство (2) выполняется всегда. Действительно, в
этом случае $D_{X}F=N(X)=$ $\Cntg_{X}N(X)$ -- конус нормалей к
$F$, $\Cntg_{X}F=T(X)=\Conv T(X)$\ - касательный конус к $F$\ и
$N(X)=\left[ T(X)\right] ^{\star }$. \end{remark}

\section*{4. Кромочные точки веера нормалей.}
\begin{definition}
Кромкой веера $D_{X}F$ назовем множество отличных от $X$ концов
отрезков пересечения веера $D_{X}F$ со всеми лучами, исходящими
из этой точки. Обозначение: $K_p D_{X}F$. Точки кромки будем
называть кромочными точками. \end{definition}
\begin{theorem}
Для любых двух точек $X,Y\in F$
\begin{equation} D_{X}F\cap
D_{Y}F\subset K_pD_{X}F\cap K_p D_{Y}F.
\end{equation}
\end{theorem}

\begin{proof}
Пусть точка $Z\in D_{X}F\cap D_{Y}F$. Тогда по лемме $\left|
ZX\right| =\left| ZY\right| $. Лучи $\left[ ZX\right) $ и $\left[
Z Y\right) $ не сонаправлены. Поэтому для любой точки $Z_{1}$ луча
$\left[ XZ\right) $, лежащей вне отрезка $\left[ XZ\right] $ имеем

$$\left| Z_{1}Y\right| <\left| Z_{1}Z\right| +\left| ZY\right| =\left|
Z_{1}Z\right| +\left| ZX\right| =\left| Z_{1}X\right|. $$

Поэтому шар $B(Z_{1},r)$, где $r=\left| Z_{1}X\right| $ содержит
внутри себя точку $Y\in F$, а, значит, не является опорным к $F$.
Следовательно $Z_{1}\notin D_{X}F$. Таким образом, \ $Z\in K_p
D_{X}F$. По тем же соображениям $Z\in K_pD_{Y}F$, и включение (3)
доказано.
\end{proof}

\begin{corollary} Если $K_pD_{X}F=\emptyset$, то для всех $Y\in F$
$D_{X}F\cap D_{Y}F=\emptyset$.
\end{corollary}

\begin{corollary} Множество $\cup _{X\in F}K_p D_{X}F$ не имеет
внутренности. \end{corollary}

\begin{proof}
Допустим, что выполняется противное: $\innt[\cup _{X\in F}K_p
D_{X}F]\neq \emptyset$ и $Z\in \innt[\cup _{X\in F}К р D_{X}F]$.
Пусть $Z_{0}$ - ближайшая к $Z$ точка множества $F$. Тогда
достаточно близкие к $Z$ точки отрезка $\left[ Z_{0}Z\right] $
также должны принадлежать множеству $\cup _{X\in F}K_p D_{X}F$,
т.е. на отрезке $\left[ Z_{0}Z\right] $ найдется точка $Y\in K_p
D_{Y_{0}}F$ при каком то $Y_{0}\in F$, а это противоречит теореме
6.
\end{proof}

\begin{theorem}
 Среди замкнутых множеств выпуклые множества и только они имеют
пустое множество кромочных точек.
\end{theorem}

\begin{proof}
Если $F$\ - выпуклое множество, то по свойству 6 вееров нормалей
$\cup _{X\in F}K_pD_{X}F=$\O . Пусть $F$\ - невыпуклое множество.
Тогда найдется отрезок $\left[ AB\right] $, концы которого
$A,B\in F$, а некоторая точка его $Y\notin F$. Пусть $Y_{0}$\ -
ближайшая к $Y$ точка множества $F$. Тогда шары достаточно
большого радиуса с центрами на луче $\left[ Y_{0}Y\right) $,
граница которых проходит через точку $Y_{0}$, содержат по крайней
мере один из концов отрезка $\left[ AB\right] $ внутри себя.
Следовательно центр такого шара не принадлежит вееру
$D_{Y_{0}}F$. Поэтому на луче $\left[ Y_{0}Y\right) $ вне отрезка
$[Y_{0}Y]$ существует кромочная точка веера $D_{Y_{0}}F$, т.е.
$\cup _{X\in F}K_p D_{X}F\neq $\O .
\end{proof}

\end{multicols}
\end{document}
