\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{srcltx}
\usepackage{amsmath,amsopn,amsthm,multicol}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Команды используются для коррекции при
% выводе на печать
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\voffset -10.8cm \hoffset -1.9cm \textwidth 170mm \textheight
250mm



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newenvironment{definition*}{\par \bf Определение.\it}{}
\newenvironment{remark}{\par \bf Замечание.\it}{}
\newenvironment{lemma}{\noindent \bf Лемма.\it}{}
\newenvironment{corollary}{\noindent \bf Следствие.\it}{}
\newenvironment{theorem}{\noindent \bf Теорема.\it}{}
\newcommand{\sign}{\rm sign}
\newcommand{\dg}{\rm deg}
%%%%%%%%
%%%%%%%%

\begin{document}



\newpage
УДК 514.765

Е.Д.~Родионов, В.В.~Славский\footnotemark[1]


Конформно киллинговы векторные поля на локально однородном
пространстве







\footnotetext[1]{Работа выполнена при поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований (коды проектов 96-01-00436, 96-15-96291),
грантового центра при Санкт-Петербургском
государственном университете (код проекта 97-0-1.3-63).}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % переход на два столбца
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{multicols}{2}












{\bf Конформно киллинговы векторные поля на римановом многообразие.}


В данной работе доказывается лемма сформулированная  в пункте 2 работы
\cite{RS1}.  Напомним, коротко, основные определения из
работы  \cite{RS1}.
Пусть  $\nabla $ линейная связность Леви-Чивита римановой метрики
$ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}$ на многообразии $M^{n}$, $R_{ijks}$
-- тензор кривизны, $R_{ij}$ -- тензор Риччи,
$Ric(\xi)=R_{ij}\xi^i\xi^j$ -- кривизна Риччи в направлении
единичного вектора $\xi$, $R$ -- скалярная кривизна метрики
$ds^{2}$.

При исследовании римановых многообразий важную роль играет тензор,
определяемый формулой
\begin{equation}\label{odn}
A_{ij}=\frac{1}{n-2}\left( R_{ij}-\frac{Rg_{ij}}{2(n-1)}\right) .
\end{equation}
Он представляет собой целую часть от деления риманова тензора
кривизны на метрический тензор относительно произведения
Кулкарни-Номидзу \cite{Besse2}. Используя тензор $A_{ij}$ тензор
кривизны можно представить в виде
\begin{gather*}
R_{lkij}=W_{lkij}+g_{lj}A_{ki}+g_{ki}A_{lj}-\\-
g_{li}A_{kj}-g_{kj}A_{li},
\end{gather*}
где $W_{lkij}$ -- тензор Вейля.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{definition*}
Векторное поле $v$ определяет инфинитезимальное конформное преобразование
риманова пространства и называется конформно-киллинговым, если
\begin{equation}\label{kill}
v_{i,k}+v_{k,i}=2wg_{ik}.
\end{equation}
\end{definition*}

\begin{lemma}
Система уравнений (\ref{kill}) на векторное поле $v(x)$ эквивалентна
линейной системе
\begin{align}
v_{j,p} &=\eta _{jp}+g_{jp}w, \label{kill1}\\
\eta _{ij,p} &=v_{a}R_{\;\;pij}^{a}+g_{ip}\zeta _{j}-g_{jp}\zeta
_{i},\label{kill2}\\
w_{,p} &=\zeta _{p}, \label{kill3}\\
\varsigma _{j,p} &=\eta _{pa}A_{j}^{a}+\eta
_{ja}A_{p}^{a}-A_{jp,b}v^{b}-2wA_{jp}, \label{kill4}
\end{align}
на тензорные поля $\left\{ v_{j}\right\} $, $\left\{ \eta
_{ij}\right\} $, $\left\{ w\right\} $, $\left\{ \zeta
_{p}\right\} $. Где $\left\{ v_{j}\right\} $ -- ковариантные
компоненты векторного поля $v(x)$, $\left\{ \eta _{ij}\right\} $
-- кососимметричный ковариантный тензор, $w$ -- функция, $\left\{
\zeta _{p}\right\} $ -- ковекторное поле. При этом, условия
интегрируемости системы (на решение) имеют вид
\begin{equation}\label{eq12}
\begin{split}
&v^{a}W_{ijsk,a}+2wW_{ijsk}-\eta _{i}^{.a}W_{ajsk}-\\
&-\eta
_{j}^{.a}W_{iask}-\eta _{s}^{.a}W_{ijak}-\eta _{k}^{.a}W_{ijsa} =0, \\
&\zeta _{a}W_{\;jps}^{a}-3wS_{jps}-v^{t}S_{jps,t}+\\
&+\eta _{j}^{.a}S_{aps}+\eta
_{p}^{.a}S_{jas}+\eta _{s}^{.a}S_{jpa} =0,
\end{split}
\end{equation}
где $S_{jps}=A_{jp,s}-A_{js,p}$ -- тензор Схоутена-Вейля.
\end{lemma}

\begin{proof}
Следуя \cite{Resh} найдем линейную систему эквивалентную этим
уравнениям. Положим для произвольного векторного поля $v(x)$
\begin{eqnarray}
q_{jk} &=&\frac{1}{2}\left(
v_{j,k}+v_{k,j}\right) -\frac{g_{kj}}{n}v_{i,}^{\;\;i},\label{eq4}\\
\eta_{jk} &=&\frac{1}{2}\left( v_{j,k}-v_{k,j}\right),\label{eq5} \\
w&=&\frac{v_{i,}^{\;\;i}}{n}, \label{eq6}\\
\zeta _{i}&=&w_{,i}.\label{eq7}
\end{eqnarray}
Отсюда имеем равенства
\begin{eqnarray} v_{j,k} &=&\eta _{jk}+q_{jk}+g_{kj}w,\label{eq8}\\
w_{,k} &=&\zeta _{k}.\label{eq9}
\end{eqnarray}
Аналогично тому, как это было сделано для
киллинговых векторных полей в \cite{RS1} получаем
тождество
\begin{gather*}
 \left( v_{i,j}-v_{j,i}\right)
_{,k}=2v_{a}R_{\;\;kij}^{a}+\\+2\left( q_{ik,j}-q_{jk,i}\right)
+2g_{ik}w_{,j}-2g_{jk}w_{,i},
\end{gather*}
или
\[
 \eta
_{ij,k}=v_{a}R_{\;\;kij}^{a}+\left( q_{ik,j}-q_{jk,i}\right)
+g_{ik}\zeta _{j}-g_{jk}\zeta _{i}. \]
Дифференцируя ковариантно
равенство (\ref{eq8}) по $\frac{\nabla }{\partial x^{s}}$ получим
\begin{gather*} v_{j,ks} =\eta
_{jk,s}+q_{jk,s}+g_{jk}w_{,s}=\\
=v_{a}R_{\;\;sjk}^{a}+q_{js,k}-q_{ks,j}+\\+g_{js} \zeta _{k}-
g_{ks}\zeta _{j}+q_{jk,s}+g_{jk}\zeta _{s},
\end{gather*}
отсюда \begin{gather*}
v_{j,ks}g^{ks}=v_{j,s}^{\;\;\;s}=-v_{a}R_{\;\;j}^{a}+q_{jk,}^{\;\;\;k}-\\-
\left( q_{sk}g^{ks}\right) _{,j}+\zeta _{j}-n\zeta
_{j}+q_{js,}^{\;\;\;s}+\zeta _{j},
\end{gather*}
или
$
v_{j,s}^{\;\;\;s}=-v_{a}R_{\;\;j}^{a}+2q_{jk,}^{\;\;\;k}-\left(
n-2\right) \zeta _{j}$.
Как следствие  получаем равенство
\begin{equation}\label{eq11}
\begin{split}
&\left( v_{j,skp}+v_{p,skj}\right) g^{sk}=-v_{b,p}R_{\;\;j}^{b}-\\
&-v_{b}R_{\;\;j,p}^{b}-v_{b,j}R_{\;\;p}^{b}-v_{b}R_{%
\;\;p,j}^{b}+ \\
&+2\left( q_{js,kp}+q_{ps,kj}\right) g^{sk}-2\left( n-2\right)
\zeta _{j,p}.
\end{split}
\end{equation}
С другой стороны применяя тождество Риччи имеем
\begin{gather*}
v_{j,skp}+v_{p,skj} =\left( v_{j,p}+v_{p,j}\right)
_{,sk}-\\
-v_{b,k}R_{\;\;jsp}^{b}-v_{b,k}R_{\;\;psj}^{b}
-v_{b}R_{\;\;jsp,k}^{b}-v_{b}R_{\;\;psj,k}^{b}-\\
-v_{b,s}R_{\;\;jkp}^{b}-v_{b,s}R_{\;\;pkj}^{b}-
v_{j,b}R_{\;\;skp}^{b}-v_{p,b}R_{\;\;skj}^{b}.
\end{gather*}
Следовательно свертывая с $g^{sk}$ и подставляя выражения  (\ref{eq8}) получим
\begin{gather*}
\left( v_{j,skp}+v_{p,skj}\right) g^{sk}
=2\left( q_{jp}+g_{jp}w\right) _{,sk}g^{sk}- \\
-\left(\eta_{bk}+q_{bk}+g_{bk}w\right) R_{\;\;jsp}^{b}g^{sk}-\\
-\left(\eta _{bk}+q_{bk}+g_{bk}w\right) R_{\;\;psj}^{b}g^{sk}-\\
- \left(v_{b}R_{\;\;jsp,k}^{b}+v_{b}R_{\;\;psj,k}^{b}\right)g^{sk}-\\
-\left( \eta _{bs}+q_{bs}+g_{bs}w\right) R_{\;\;jkp}^{b}g^{sk}-\\
-\left( \eta _{bs}+q_{bs}+g_{bs}w\right) R_{\;\;pkj}^{b}g^{sk} -\\
-\left(\eta _{jb}+q_{jb}+g_{jb}w\right) R_{\;\;skp}^{b}g^{sk}-\\
-\left( \eta _{pb}+q_{pb}+g_{pb}w\right) R_{\;\;skj}^{b}g^{sk}.
\end{gather*}
Приравнивая
это выражение с выражением (\ref{eq11}), после сокращения получим
\begin{gather*}
2\left( q_{jp,sk}+g_{jp}\zeta _{s,k}\right) g^{sk} =\\
=\left( \eta_{bk}+q_{bk}+g_{bk}w\right) R_{\;\;jsp}^{b}g^{sk}+ \\
+\left( \eta_{bk}+q_{bk}+g_{bk}w\right) R_{\;\;psj}^{b}g^{sk}+\\
+\left(v_{b}R_{\;\;jsp,k}^{b}+v_{b}R_{\;\;psj,k}^{b}\right) g^{sk}+ \\
+\left( \eta _{bs}+q_{bs}+g_{bs}w\right)R_{\;\;jkp}^{b}g^{sk}+\\
+\left( \eta _{bs}+q_{bs}+g_{bs}w\right) R_{\;\;pkj}^{b}g^{sk}+ \\
+2\eta _{pb}R_{\;\;j}^{b}+2\eta
_{jb}R_{\;\;p}^{b}-v_{b}R_{\;\;j,p}^{b}-v_{b}R_{\;\;p,j}^{b}+\\
+2\left( q_{js,kp}+q_{ps,kj}\right) g^{sk}-2\left( n-2\right) \zeta _{j,p}.
\end{gather*}
Используя тождество $R_{\;pbj,s}^{s}=R_{pb,j}-R_{pj,b}$ после
преобразований получим
\begin{gather*}
\left( n-2\right) \zeta_{j,p}+g_{jp}\zeta _{s,k}g^{sk} =\\
=\left(q_{js,kp}+q_{ps,kj}-q_{jp,sk}\right) g^{sk}-2wR_{pj}+ \\
+\eta^{bs}\left( R_{bjsp}+R_{bpsj}\right)
+q^{bs}\left(R_{bjsp}+R_{bpsj}\right) +\\
+\eta _{pb}R_{\;\;j}^{b}+\eta _{jb}R_{\;\;p}^{b}-v^{b}R_{pj,b}.
\end{gather*}
Рассмотрим случай конформно-инфи\-ни\-ти\-зи\-маль\-ного
преобразования, тогда тензор $\left\{ q_{ij}\right\} =0$,
следовательно
\begin{gather*} \left( n-2\right) \zeta _{j,p}+g_{jp}\zeta
_{s,k}g^{sk} =\\
=-2wR_{pj}+\eta ^{bs}\left( R_{bjsp}+R_{bpsj}\right)+ \\
+\eta _{pb}R_{\;\;j}^{b}+\eta_{jb}R_{\;\;p}^{b}-v^{b}R_{pj,b}
\end{gather*}
Свертывая с тензором $g^{jp}$ получим \[ 2\left( n-1\right) \zeta
_{s,k}g^{sk}=-2wR-v^{b}R_{,b} \] Отсюда, при $n>2$, для
конформно-ин\-фи\-ни\-ти\-зи\-маль\-ного преобразования имеем
\begin{gather*}
\zeta _{j,p} =\frac{-1}{n-2}\left( R_{pj,b}-\frac{R_{,b}g_{pj}}{2\left(
n-1\right) }\right) v^{b}-\\
-\frac{2w}{n-2}\left( R_{pj}-\frac{Rg_{pj}}{2\left( n-1\right) }\right) + \\
+\frac{1}{n-2}\left( \eta ^{bs}\left( R_{bjsp}+R_{bpsj}\right) +\eta _{pb}R_{\;\;j}^{b}+\eta
_{jb}R_{\;\;p}^{b}\right).
\end{gather*}
Заметим, что из кососимметричности
тензора $\left\{ \eta ^{bs}\right\} $ следует равенства
\begin{gather*}
\eta ^{bs}\left( R_{bjsp}+R_{bpsj}\right) +\eta _{pb}R_{\;\;j}^{b}+\eta
_{jb}R_{\;\;p}^{b}= \\
=\frac{1}{2}\eta ^{ba}(
R_{bjap}+R_{bpaj}-R_{ajbp}-R_{apbj}-\\
-g_{ap}R_{bj}-g_{aj}R_{bp}+g_{bp}R_{aj}+g_{bj}R_{ap}) =\\
=\frac{1}{2}\eta ^{ba}\left(g_{bp}R_{aj}+g_{bj}R_{ap}-g_{ap}R_{bj}-g_{aj}R_{bp}\right) = \\
=\frac{(n-2)\eta ^{ba}}{2}\left(g_{bp}A_{aj}+g_{bj}A_{ap}
-g_{ap}A_{bj}-\right.\\
\left.-g_{aj}A_{bp}\right) =\left(n-2\right) \left( \eta
_{pa}A_{j}^{a}+\eta _{ja}A_{p}^{a}\right).
\end{gather*}
Подставляя получим окончательно \[
\varsigma _{j,p}=-A_{jp,b}v^{b}-2wA_{jp}+\eta _{pa}A_{j}^{a}+\eta
_{ja}A_{p}^{a}. \]
Для доказательства равенств (\ref{eq12}) повторно продифференцируем первое
равенство (\ref{kill1})
по $\frac{\nabla }{\partial x^{s}}\,$\ получим \begin{gather*}
v_{j,ks}=\eta _{jk,s}+g_{jk}w_{,s}=\\
=v_{a}R_{\;\;sjk}^{a}+g_{js}\zeta
_{k}-g_{ks}\zeta _{j}+g_{jk}\zeta _{s}
\end{gather*}
меняя местами $k\;s$ получим \[
v_{j,sk}=v_{a}R_{\;\;kjs}^{a}+g_{jk}\zeta _{s}-g_{sk}\zeta _{j}+g_{js}\zeta
_{k}. \]
Откуда по тождеству Риччи получим равенство \[
v_{j,ks}-v_{j,sk}=-v_{a}R_{\;\;jks}^{a}\equiv
v_{a}R_{\;\;sjk}^{a}-v_{a}R_{\;\;kjs}^{a} \]
которое тождественно выполняется в силу первого тождества Бианки.
Дифференцируя  уравнение (\ref{kill3}) по $\frac{\nabla }{\partial x^{s}}$
получим $w_{,ks} =\zeta _{k,s}$, следовательно в силу системы
имеем тождество $w_{,ks} \equiv w_{,sk}$.
Дифференцируя уравнение (\ref{kill4}) по $\frac{\nabla }{\partial
x^{s}}$ получим
\begin{gather*}
\zeta _{j,ps}=-A_{jp,bs}v^{b}-2wA_{jp,s}+\eta
_{pa}A_{j,s}^{a}+\\+\eta _{ja}A_{p,s}^{a} -g_{s}^{a}A_{jp,}^{\;\;\;b}\eta_{ba}-wA_{jp,s}-2\zeta _{s}A_{jp}+\\
+ \left(v_{t}R_{\;\;spa}^{t}+g_{ps}\zeta _{a}-g_{as}\zeta _{p}\right)
A_{j}^{a}+\\
+\left( v_{t}R_{\;\;sja}^{t}+g_{js}\zeta_{a}-g_{as}\zeta _{j}\right) A_{p}^{a}.
\end{gather*}
Следовательно
\begin{gather*}
\zeta _{j,ps}-\zeta _{j,sp}=\\
=-A_{jp,bs}v^{b}-2wA_{jp,s}+\eta _{pa}A_{j,s}^{a}+\\
+\eta_{ja}A_{p,s}^{a} -g_{s}^{a}A_{jp,}^{\;\;\;b}\eta
_{ba}-wA_{jp,s}-2\zeta _{s}A_{jp}+ \\
+\left(v_{t}R_{\;\;spa}^{t}+g_{ps}\zeta _{a}-g_{as}\zeta _{p}\right)
A_{j}^{a}+\\
+\left( v_{t}R_{\;\;sja}^{t}+g_{js}\zeta _{a}-g_{as}\zeta
_{j}\right) A_{p}^{a} +\\
+A_{js,bp}v^{b}+2wA_{js,p}-\eta
_{sa}A_{j,p}^{a}-\eta _{ja}A_{s,p}^{a} +\\
+g_{p}^{a}A_{js,}^{\;\;\;b}\eta _{ba}+wA_{js,p}+2\zeta _{p}A_{js}-
\\
-\left( v_{t}R_{\;\;psa}^{t}+g_{sp}\zeta _{a}-g_{ap}\zeta
_{s}\right) A_{j}^{a}-\\
-\left( v_{t}R_{\;\;pja}^{t}+g_{jp}\zeta_{a}-g_{ap}\zeta _{j}\right)
A_{s}^{a}.
\end{gather*}
Условие интегрируемости примет вид
\begin{gather*}
-\zeta _{a}R_{\;\;jps}^{a}  =v^{b}\left(
-A_{jp,bs}+\right.\\
\left.+A_{js,bp}+A_{p}^{a}R_{bsja}-
A_{s}^{a}R_{bpja}\right)+\\
+3wS_{js,p}+\eta ^{ba}\left(
g_{bj}S_{aps}+g_{bs}S_{jpa}+g_{bp}S_{jas}\right) +\\
+ \zeta_{a}\left(
-g_{s}^{a}A_{jp}+g_{p}^{a}A_{js}+g_{js}A_{p}^{a}-g_{jp}A_{s}^{a}\right)
\end{gather*}
Приводя подобные слагаемые, после преобразования получим
\begin{gather*}
 \zeta_{a}W_{\;jps}^{a}-3wS_{jps}+v^{t}S_{jsp,t}+\\
+\eta ^{ba}\left(
g_{bj}S_{aps}+g_{bs}S_{jpa}+g_{bp}S_{jas}\right) =0
\end{gather*}
Дифференцируя уравнение (\ref{kill2}) по $\frac{\nabla }{\partial x^{s}}$
получим
\begin{gather*}
\eta _{ij,ks}
=v_{a,s}R_{\;\;kij}^{a}+v_{a}R_{\;\;kij,s}^{a}+g_{ik}\zeta
_{j,s}-g_{jk}\zeta _{i,s}= \\
=\left( \eta _{as}+g_{as}w\right)
R_{\;\;kij}^{a}+v_{a}R_{\;\;kij,s}^{a} +\\
+g_{ik}\left(
-A_{js,b}v^{b}-2wA_{js}+\eta _{sa}A_{j}^{a}+\eta
_{ja}A_{s}^{a}\right) -\\
-g_{jk}\left(
-A_{is,b}v^{b}-2wA_{is}+\eta _{sa}A_{i}^{a}+\eta
_{ia}A_{s}^{a}\right).
\end{gather*}
Откуда
\begin{gather*}
\eta _{ij,ks}-\eta _{ij,sk} =-\eta _{aj}R_{\;iks}^{a}-\eta
_{ia}R_{\;jks}^{a}= \\
=\left( \eta _{as}+g_{as}w\right) R_{\;\;kij}^{a}+v_{a}R_{\;\;kij,s}^{a}+ \\
+g_{ik}\left( -A_{js,b}v^{b}-2wA_{js}+\eta _{sa}A_{j}^{a}+\eta
_{ja}A_{s}^{a}\right)- \\
-g_{jk}\left( -A_{is,b}v^{b}-2wA_{is}+\eta _{sa}A_{i}^{a}+\eta
_{ia}A_{s}^{a}\right) -\\
-\left( \eta _{ak}+g_{ak}w\right) R_{\;\;sij}^{a}-v_{a}R_{\;\;sij,k}^{a}- \\
-g_{is}\left( -A_{jk,b}v^{b}-2wA_{jk}+\eta _{ka}A_{j}^{a}+\eta
_{ja}A_{k}^{a}\right) +\\
+g_{js}\left( -A_{ik,b}v^{b}-2wA_{ik}+\eta _{ka}A_{i}^{a}+\eta
_{ia}A_{k}^{a}\right).
\end{gather*}
Следовательно \begin{gather*}
v^{b}(R_{bkij,s}-R_{bsij,k}-g_{ik}A_{js,b}
+g_{jk}A_{is,b}+\\+g_{is}A_{jk,b}-g_{js}A_{ik,b})
+w(R_{skij}-2g_{ik}A_{js}+\\+2g_{jk}A_{is}
-R_{ksij}+2g_{is}A_{jk}-2g_{js}A_{ik}) +\\
+\eta ^{ab}(g_{jb}R_{aiks}+g_{ia}R_{bjks}+g_{sb}R_{akij}-\\
-g_{kb}R_{asij}+g_{ik}g_{sa}A_{jb}+g_{ik}g_{ja}A_{sb}-\\
-g_{jk}g_{sa}A_{ib}-g_{jk}g_{ia}A_{sb}-g_{is}g_{ka}A_{jb}-\\-
g_{is}g_{ja}A_{kb}+g_{js}g_{ka}A_{ib}+g_{js}g_{ia}A_{kb}).
\end{gather*}
Используя антисимметричность $\eta ^{ab}$ после преобразования
получим
\begin{gather*}
v^{b}W_{ijsk,b}+2wW_{ijsk}+\eta ^{ab}\left(
g_{jb}W_{aiks}+\right.\\
\left.+g_{ia}W_{bjks}+g_{sb}W_{akij}-g_{kb}W_{asij}\right)= \\
=v^{b}W_{ijsk,b}+2wW_{ijsk}+\eta _{ja}W_{\;isk}^{a}+\\+\eta
_{ia}W_{\;jks}^{a}+\eta _{sa}W_{\;kji}^{a}+\eta_{ka}W_{\;sij}^{a}.
\end{gather*}
\end{proof}
\begin{remark}
При $n=3$ тензор Вейля тождественно равен нулю и следовательно первое
равенство в (\ref{eq12}) выполняется автоматически, а второе равенство
принимает вид
\begin{gather*} -3wS_{jps}-v^{t}S_{jps,t}+\\ +\eta
_{j}^{.a}S_{aps}+\eta _{p}^{.a}S_{jas}+\eta _{s}^{.a}S_{jpa}=0.
\end{gather*}
При $n\geq 4$ второе равенство в
(\ref{eq12}) есть следствие первого \cite{Collin}, для доказательства достаточно
продифференцировать ковариантно первое равенство
по $\frac{\nabla }{\partial x^{i}}$ и свернуть по индексу $i$ и учесть
тождество $W_{\;jsk,i}^{i}=(n-3)S_{jsk}$.
\end{remark}
\begin{remark} Условие интегрируемости можно записать в более
компактной форме \cite{Yano}, используя производную Ли
$$
L_vW_{ijks}=2wW_{ijks},\qquad L_vS_{ijk}=W^a_{.ijk}w_{;a}.
$$
\end{remark}
\begin{remark}
Умножая первое равенство на $W^{ijsk}$ и сворачивая индексы получим
равенство \[
\frac{1}{2}v^{a}\left( \left| W\right| ^{2}\right) _{,a}+2w\left| W\right|
^{2}=0. \]
Аналогично умножая второе равенство на $S^{jps}$ и сворачивая индексы
получим равенство \[
\zeta _{a}W_{\;jps}^{a}S^{jps}-3w\left| S\right| ^{2}-\frac{1}{2}v^{t}\left(
\left| S\right| ^{2}\right) _{,t}=0. \]
\end{remark}
\begin{corollary}
Если $\left|
W\right| ^{2}=const\neq 0$, то $w\equiv 0$ и $\zeta _{s}\equiv 0$.
Следовательно  конформно-киллингово векторное поле в этом
случае будет просто киллинговым.
\end{corollary}
\begin{remark}
Пусть $\left\{ M,ds^{2}\right\} $ риманово многообразие и
векторное поле $V=\left\{ v^{i}\right\} $ -- киллингово, тогда на
многообразии $\left\{ M,\overline{ds}^{2}=e^{-2\sigma
(t)}ds^2\right\} $ -- полученном из исходного конформной
деформацией векторное поле $V=\left\{ v^{i}\right\} $ будет
конформно-киллинговым.
\end{remark}
\begin{proof}
В исходной метрике имеем равенство \[
v_{k,j}=v_{,j}^{i}g_{ik}=\frac{\partial v^{i}}{\partial
t^{j}}g_{ik}+v^{a}\Gamma _{aj,k}.
\]
Отсюда
\begin{gather*}
\overline{v_{k,j}}=e^{-2\sigma }\left[ v_{k,j}-v^{a}\frac{\partial \sigma
}{\partial t^{a}}g_{kj}\right.-\\-
\left. g_{ak}v^{a}\frac{\partial \sigma }{\partial
t^{j}}+g_{aj}v^{a}\frac{\partial \sigma }{\partial t^{k}}\right].
\end{gather*}
Следовательно \[
\overline{v_{k,j}}+\overline{v_{j,k}}=-2v^{a}\frac{\partial \sigma
}{\partial t^{a}}\overline{g_{kj}}.
\]
\end{proof}

\begin{definition*}
Пусть риманово многообразие $\left\{ M^{n},ds^{2}\right\} $
обладает свойством: для любой точки $x_{0}\in M$ и любого
касательного вектора $v_{0}\in T_{x_{0}}M$ в этой точке
существует векторное поле $v(x)$ в окрестности точки $x_{0}\in M$
удовлетворяющее системе (\ref{kill}) такое, что $v(x_{0})=v_{0}$.
Многообразие в этом случае назовем локально конформно однородным.
\end{definition*}
\begin{remark}
Конформная деформация локально однородного пространства есть локально
конформно однородное пространство.
\end{remark}
\begin{theorem}
Пусть $\left\{ M^{n},ds^{2}\right\} $ локально конформно
однородное связное риманового многообразие. Тогда либо тензор
Вейля $\left| W\right| ^{2}\equiv 0$ и многообразие
конформно-плоское, либо $\left| W\right| ^{2}\neq 0$ в каждой
точке и тогда определена точечно-конформная деформация метрики
$\left\{ M,\overline{ds}^{2}=e^{-2\sigma (t)}ds^2\right\} $,
превращающая многообразие в локально однородное.
\end{theorem}
\begin{proof}
При конформной деформации тензор Вейля инвариантен, точнее \[
W_{\;isk}^{a}=\overline{W}_{\;isk}^{a},\,\;\;\;\left| \overline{W}\right|
^{2}=e^{6\sigma (t)}\left| W\right| ^{2}
\]
Следовательно если $\left| W\right| ^{2}\neq 0$ можно выбрать
функцию $\sigma (t)$ так, чтобы$\;\left| \overline{W}\right| ^{2}\equiv
const\neq 0$. В силу замечания многообразие в этом случае локально
однородное.
\end{proof}


\end{multicols}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Библиография
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{-0.5cm}
\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{Singer}
Ambrose, W.; Singer, I.M. On homogeneous Riemannian manifolds.
Duke Math. J. 25, 647-669 (1958).

\bibitem{RS1}
Родионов Е.Д., Славский В.В. Локально конформно однородные
римановы пространства. Известия АГУ. 1(19), 39-43 (2001).

\bibitem{Tricerri}
Tricerri, Franco; Vanhecke, Lieven. Homogeneous structures on
Riemannian manifolds.  London Mathematical Society Lecture Note
Series, 83. Cambridge etc.: Cambridge University Press. VI, 125 p.

\bibitem{Tricerri2}
Tricerri, Franco Locally homogeneous Riemannian manifolds. Rend.
Semin. Mat., Torino 50, No.4, 411-426 (1992).


\bibitem{Kowalski}
Kowalski, O. Counter-example to the ''second Singer's theorem''.
Ann. Global Anal. Geom. 8, No.2, 211-214 (1990).


\bibitem{Resh} Reshetnyak, Yu.G. Stability theorems in geometry and analysis. Novosibirsk:
Izdatel'stvo Instituta Matematiki SO RAN. 424 p. (1996).

\bibitem{Yano} Yano, K. The theory of Lie derivatives and
its applications (1957; Zbl. 77, 158)

\bibitem{Collin} Collinson, C.D.
A comment on the integrability conditions of the conformal Killing equation.
Gen. Relativ. Gravitation 21, No.9, 979-980 (1989).


\end{thebibliography}



\end{document}
