\documentclass[12pt] {article}
\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2cm]{geometry}
%report}
\usepackage{amsmath,amsopn,amsthm}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{srcltx}
%\usepackage{maple2e}
%\usepackage{graphicx}
\usepackage{multicol}
\begin{document}
УДК 514.765
\begin{center}
 ~Л.Н.Шестакова


{\bf Области знакоопределенной  одномерной кривизны
левоинвариантных римановых метрик трехмерных групп Ли}
\end{center}
\begin{multicols}{2}

Пусть $G$-унимодулярная трехмерная группа Ли с алгеброй Ли $g$,
$(\cdot,\cdot)$-произвольное скалярное произведение на $g$,
$e_{1}, e_{2}, e_{3}$ -положительно ориентируемый
ортонормированный базис такой, что [2]

$[e_{1},e_{2}]=\lambda_{3}e_{3},[e_{2},e_{3}]=\lambda_{1}e_{1},[e_{3},e_{1}]=\lambda_{2}e_{2}$.


Обозначим через $k_{1},k_{2},k_{3}$-главные значения одномерной
кривизны, тогда имеем [1]:

$$k_{1}=\frac{5}{8}\lambda_{1}^2-\frac{3}{8}\lambda_{2}^2-\frac{3}{8}\lambda_{3}^2+\frac{3}{4}\lambda_{3}\lambda_{2}-\frac{1}{4}\lambda_{1}\lambda_{3}-\frac{1}{4}\lambda_{1}\lambda_{2},$$
$$k_{2}=-\frac{3}{8}\lambda_{1}^2+\frac{5}{8}\lambda_{2}^2-\frac{3}{8}\lambda_{3}^2+\frac{3}{4}\lambda_{1}\lambda_{3}-\frac{1}{4}\lambda_{1}\lambda_{2}-\frac{1}{4}\lambda_{2}\lambda_{3},$$
$$k_{3}=-\frac{3}{8}\lambda_{1}^2-\frac{3}{8}\lambda_{2}^2+\frac{5}{8}\lambda_{3}^2+\frac{3}{4}\lambda_{1}\lambda_{2}-\frac{1}{4}\lambda_{1}\lambda_{3}-\frac{1}{4}\lambda_{2}\lambda_{3}.$$


{\bf Теорема 1 [1].}

Пусть $ A_{(\cdot,\cdot)}(\pi):G_{1,n} \rightarrow R$-одномерная
кривизна риманова многообразия
$(G,(\cdot,\cdot))=(SU(2),(\cdot,\cdot))$.Тогда структурные
константы $\lambda_{i}$ $  (i=1,2,3)$ положительны и имеют место
следующие оценки:
 \begin{center}
{ $k_{1}\leq A_{(\cdot,\cdot)}(\pi )\leq k_{3},$\\
$ k_{1}\leq k_{2}\leq k_{3}$, $ k_{3}>0,$\\
если $
0<\lambda_1\leq\lambda_2\leq\lambda_3\leq\lambda_1+\lambda_2$\\
и \\ $k_{2}\leq A_{(\cdot ,\cdot )}(\pi )\leq k_{3}$,\\ $k_{2}\leq
k_{1}<k_{3}$, $k_{3}>0,$\\  если
$0<\lambda_1\leq\lambda_2<\lambda_1+\lambda_2\leq\lambda_3.$}
\end{center}



Исследуем знаки $k_{1},k_{2}$ для определения областей в $R^3$, в
которых одномерная кривизна $A_{(\cdot,\cdot)}$ положительна,
неотрицательна, осциллирует.

Справедливы утверждения:

 {\bf  Лемма 1.}

  Множество левоинвариантных римановых метрик  положительной
одномерной кривизны $A_{(\cdot,\cdot)}$ на римановом многообразии
$(G,(\cdot,\cdot))=(SU(2),(\cdot,\cdot))$ определяется следующими
условиями:
$$k_{1}=\frac{5}{8}\lambda_{1}^2-\frac{3}{8}\lambda_{2}^2-\frac{3}{8}\lambda_{3}^2+\frac{3}{4}\lambda_{3}\lambda_{2}-$$ $$-\frac{1}{4}\lambda_{1}\lambda_{3}-\frac{1}{4}\lambda_{1}\lambda_{2}>0,$$
\begin{center}если
$0<\lambda_{1}\leq\lambda_{2}\leq\lambda_{3}\leq\lambda_{1}+\lambda_{2}$
\end{center}
\begin{center}{и}
\end{center}
$$k_{2}=-\frac{3}{8}\lambda_{1}^2+\frac{5}{8}\lambda_{2}^2-\frac{3}{8}\lambda_{3}^2+\frac{3}{4}\lambda_{1}\lambda_{3}-$$
$$
-\frac{1}{4}\lambda_{1}\lambda_{2}-\frac{1}{4}\lambda_{2}\lambda_{3}>0,$$
\begin{center} если
$0<\lambda_{1}\leq\lambda_{2}<\lambda_{1}+\lambda_{2}\leq\lambda_{3}.$
\end{center}




 {\bf Лемма 2.}

 Множество левоинвариантных римановых метрик
неотрицательной одномерной кривизны $A_{(\cdot,\cdot)}$ на
римановом многообразии $(G,(\cdot,\cdot))=(SU(2),(\cdot,\cdot))$
определяется следующими условиями:
$$k_{1}=\frac{5}{8}\lambda_{1}^2-\frac{3}{8}\lambda_{2}^2-\frac{3}{8}\lambda_{3}^2+\frac{3}{4}\lambda_{3}\lambda_{2}-$$ $$-\frac{1}{4}\lambda_{1}\lambda_{3}-\frac{1}{4}\lambda_{1}\lambda_{2}=0,
$$
\begin{center}если $
0<\lambda_{1}\leq\lambda_{2}\leq\lambda_{3}\leq\lambda_{1}+\lambda_{2}$
\end{center}
\begin{center}{и}
\end{center}
$$k_{2}=-\frac{3}{8}\lambda_{1}^2+\frac{5}{8}\lambda_{2}^2-\frac{3}{8}\lambda_{3}^2+\frac{3}{4}\lambda_{1}\lambda_{3}-$$ $$-\frac{1}{4}\lambda_{1}\lambda_{2}-\frac{1}{4}\lambda_{2}\lambda_{3}=0,$$
\begin{center}если
$0<\lambda_{1}\leq\lambda_{2}<\lambda_{1}+\lambda_{2}\leq\lambda_{3}.$
\end{center}


 {\bf Лемма 3.}

Множество левоинвариантных римановых метрик осциллирующей
одномерной кривизны $A_{(\cdot,\cdot)}$ на римановом многообразии
$(G,(\cdot,\cdot))=(SU(2),(\cdot,\cdot))$ определяется следующими
условиями:
$$k_{1}=\frac{5}{8}\lambda_{1}^2-\frac{3}{8}\lambda_{2}^2-\frac{3}{8}\lambda_{3}^2+\frac{3}{4}\lambda_{3}\lambda_{2}-$$ $$-\frac{1}{4}\lambda_{1}\lambda_{3}-\frac{1}{4}\lambda_{1}\lambda_{2}<0,
$$\begin{center}если    $ 0<\lambda_{1}\leq\lambda_{2}\leq\lambda_{3}\leq\lambda_{1}+\lambda_{2}$
\end{center}
\begin{center}{и}
\end{center}
$$k_{2}=-\frac{3}{8}\lambda_{1}^2+\frac{5}{8}\lambda_{2}^2-\frac{3}{8}\lambda_{3}^2+\frac{3}{4}\lambda_{1}\lambda_{3}-$$ $$-\frac{1}{4}\lambda_{1}\lambda_{2}-\frac{1}{4}\lambda_{2}\lambda_{3}<0,$$
\begin{center}
{если
$0<\lambda_{1}\leq\lambda_{2}<\lambda_{1}+\lambda_{2}\leq\lambda_{3}.$}
\end{center}


{\bf Доказательство лемм.}

Докажем лемму 1. Так как одномерная кривизна является непрерывной
функцией на грассмановом многообразии $G_{1,3}$, то она достигает
своих экстремальных значений $k_{1}$ , $k_{2}$ или $k_{3}$ на
векторах $e_{1},e_{2},e_{3}$ на данном многообразии. Поэтому из
теоремы 1 видно, что знак $A_{(\cdot,\cdot)}$ определяется знаком
величин $k_{1},k_{2}$. При рассмотрении первой оценки одномерной
кривизны видно, что если $k_{1}>0$, то $0<k_{1}\leq
A_{(\cdot,\cdot)}\leq k_{3}$, т.е. кривизна положительна при $
0<\lambda_{1}\leq\lambda_{2}\leq\lambda_{3}\leq\lambda_{1}+\lambda_{2}$.
Аналогично, во второй оценке кривизна положительна, если $k_{2}>0$
при $
0<\lambda_{1}\leq\lambda_{2}\leq\lambda_{3}\leq\lambda_{1}+\lambda_{2}$.

Доказательство лемм 2 и 3 проводится аналогично.

Покажем, что множество левоинвариантных римановых метрик
положительной, неотрицательной, осциллирующей одномерной кривизны
на данном многообразии не пусто. Для этого рассмотрим случай
$\lambda_{3}=c=const>0.$ Получим сечение искомого множества
плоскостью $\lambda_{3}=c$.

Рассмотрим сначала случай, когда структурные константы
$\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}$ удовлетворяют неравенствам
$0<\lambda_{1}\leq\lambda_{2}\leq c\leq\lambda_{1}+\lambda_{2}.$


{\bf  Теорема 2.}

Пусть $(G,(\cdot,\cdot)) =(SU(2),(\cdot,\cdot))$ - риманово
многообразие, тогда справедливы следующие утверждения:

1. Если одномерная кривизна положительна и $\lambda_{3}=c$, то
структурные константы $\lambda_{1},\lambda_{2}$ удовлетворяют
следующей системе:

\label{euler}
  $$ \left\{
     \begin{array}{l}
      5\lambda_{1}^{2}-3\lambda_{2}^2
+6c\lambda_{2}-3c^2-2c\lambda_{1}-2\lambda_{1}\lambda_{2}>0 \\
      0<\lambda_{1}\leq\lambda_{2}\leq c\leq\lambda_{1}+\lambda_{2} \\
    \end{array}
      \right.
  $$



множество решений которой не пусто;

2. Если одномерная кривизна неотрицательна и $\lambda_{3}=c$, то
структурные константы $\lambda_{1},\lambda_{2}$ удовлетворяют
следующей системе:

\label{euler}
  $$ \left\{
     \begin{array}{l}
      5\lambda_{1}^{2}-3\lambda_{2}^2
+6c\lambda_{2}-3c^2-2c\lambda_{1}-2\lambda_{1}\lambda_{2}=0 \\
      0<\lambda_{1}\leq\lambda_{2}\leq c\leq\lambda_{1}+\lambda_{2} \\
    \end{array}
      \right.
  $$
множество решений которой не пусто;

3. Если одномерная кривизна осциллирует и $\lambda_{3}=c$, то
структурные константы $\lambda_{1},\lambda_{2}$ удовлетворяют
следующей системе:

\label{euler}
  $$ \left\{
     \begin{array}{l}
      5\lambda_{1}^{2}-3\lambda_{2}^2
+6c\lambda_{2}-3c^2-2c\lambda_{1}-2\lambda_{1}\lambda_{2}<0 \\
      0<\lambda_{1}\leq\lambda_{2}\leq c\leq\lambda_{1}+\lambda_{2} \\
    \end{array}
      \right.
  $$

множество решений которой не пусто.


{\bf Доказательство.}

Докажем утверждение 1. Рассмотрим условия леммы 1 при
$\lambda_{3}=c$. Они примут следующий вид :


\label{euler}
  $$ \left\{
     \begin{array}{l}
      5\lambda_{1}^{2}-3\lambda_{2}^2
+6c\lambda_{2}-3c^2-2c\lambda_{1}-2\lambda_{1}\lambda_{2}>0 \\
      0<\lambda_{1}\leq\lambda_{2}\leq c\leq\lambda_{1}+\lambda_{2} \\
    \end{array}
      \right.
  $$
 Неравенства $0<\lambda_{1}\leq\lambda_{2}\leq
c\leq\lambda_{1}+\lambda_{2}$ задают нетривиальный треугольник с
вершинами в точках $(0,c),(\frac{c}{2},\frac{c}{2}),(c,c)$,
который пересекается с гиперболой $5\lambda_{1}^{2}-3\lambda_{2}^2
+6c\lambda_{2}-3c^2-2c\lambda_{1}-2\lambda_{1}\lambda_{2}=0$
$(\diamond)$ в точках
$(0,c),(\frac{3}{4}c,\frac{3}{4}c),(\frac{4}{5}c,c)$. Поэтому
множество решений данной системы не пусто, так как представляет
собой внутренность криволинейного треугольника, ограниченного
прямыми $\lambda_{2}=c,\lambda_{2}=\lambda_{1}$ и куском
гиперболы $(\diamond)$ . Следует отметить, что точки, лежащие на
контуре криволинейного треугольника входят во множество решений
системы. \ Утверждения 2 и 3 доказываются аналогично. Причем
следует обратить внимание, что в 3 решением системы будет
криволинейный четырехугольник, ограниченный прямыми
$\lambda_{1}+\lambda_{2}=c,\lambda_{2}=c,\lambda_{1}=\lambda_{2}$
и частью гиперболы $(\diamond)$ , за исключением точки $(0,c)$.

Теперь рассмотрим случай, когда структурные константы
$\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}=c$ удовлетворяют неравенствам
$0<\lambda_{1}\leq\lambda_{2}<\lambda_{1}+\lambda_{2}\leq c$. Эти
неравенства  задают нетривиальный треугольник с вершинами в
точках $(0,0),(\frac{c}{2},\frac{c}{2}),(c,0)$, который не
пересекается с гиперболой $5\lambda_{1}^{2}-3\lambda_{2}^2
+6c\lambda_{2}-3c^2-2c\lambda_{1}-2\lambda_{1}\lambda_{2}=0
(\star)$ и расположен во внешней ее части.Таким образом, в случае,
когда $0<\lambda_{1}\leq\lambda_{2}<\lambda_{1}+\lambda_{2}\leq c$
одномерная кривизна всегда осциллирует.

Из лемм 1-3 и теоремы 2 следует

{\bf Теорема 3.}

Пусть $(G,(\cdot,\cdot)) =(SU(2),(\cdot,\cdot))$ - однородное
риманово многообразие, тогда справедливы следующие утверждения:

1. Если одномерная кривизна положительна и $\lambda_{3}=c$, то
структурные константы $\lambda_{1},\lambda_{2}$ удовлетворяют
следующей системе:
 \label{euler}
  $$ \left\{
     \begin{array}{l}
      5\lambda_{1}^{2}-3\lambda_{2}^2
+6c\lambda_{2}-3c^2-2c\lambda_{1}-2\lambda_{1}\lambda_{2}>0 \\
     0<\lambda_{1}\leq\lambda_{2}\leq c \\
    \end{array}
      \right.
  $$
множество решений которой не пусто;

2. Если одномерная кривизна неотрицательна и $\lambda_{3}=c$, то
структурные константы $\lambda_{1},\lambda_{2}$ удовлетворяют
следующей системе:


 \label{euler}
  $$ \left\{
     \begin{array}{l}
      5\lambda_{1}^{2}-3\lambda_{2}^2
+6c\lambda_{2}-3c^2-2c\lambda_{1}-2\lambda_{1}\lambda_{2}=0 \\
     0<\lambda_{1}\leq\lambda_{2}\leq c \\
    \end{array}
      \right.  $$

 множество решений которой не пусто;

3. Если одномерная кривизна осциллирует и $\lambda_{3}=c$, то
структурные константы $\lambda_{1},\lambda_{2}$ удовлетворяют
следующей системе:

 \label{euler}
  $$ \left\{
     \begin{array}{l}
      5\lambda_{1}^{2}-3\lambda_{2}^2
+6c\lambda_{2}-3c^2-2c\lambda_{1}-2\lambda_{1}\lambda_{2}<0 \\
     0<\lambda_{1}\leq\lambda_{2}\leq c \\
    \end{array}
      \right.
  $$

множество решений которой не пусто.


{\bf Замечание 1.} В трехмерном пространстве область положительной
одномерной кривизны представляет собой часть пространства,
ограниченную плоскостями
 $\lambda_{1}=\lambda_{2}, \lambda_{1}+\lambda_{2}=\lambda_{3}, \lambda_{1}=0$
 и частью конической поверхности $\frac{5}{8}\lambda_{1}^2-\frac{3}{8}\lambda_{2}^2-\frac{3}{8}\lambda_{3}^2+\frac{3}{4}\lambda_{3}\lambda_{2}-\frac{1}{4}\lambda_{1}\lambda_{3}-\frac{1}{4}\lambda_{1}\lambda_{2}=0; $
 область неотрицательной одномерной кривизны
 предcтавляет собой часть конической поверхности  $\frac{5}{8}\lambda_{1}^2-\frac{3}{8}\lambda_{2}^2-\frac{3}{8}\lambda_{3}^2+\frac{3}{4}\lambda_{3}\lambda_{2}-\frac{1}{4}\lambda_{1}\lambda_{3}-\frac{1}{4}\lambda_{1}\lambda_{2}=0 $, ограниченной плоскостями
 $\lambda_{1}=\lambda_{2}, \lambda_{1}+\lambda_{2}=\lambda_{3}$;
 область отрицательной одномерной кривизны
представляет собой часть пространства, ограниченную плоскостями
 $\lambda_{1}=\lambda_{2}, \lambda_{1}+\lambda_{2}=\lambda_{3}$
 и частью конической поверхности $\frac{5}{8}\lambda_{1}^2-\frac{3}{8}\lambda_{2}^2-\frac{3}{8}\lambda_{3}^2+\frac{3}{4}\lambda_{3}\lambda_{2}-\frac{1}{4}\lambda_{1}\lambda_{3}-\frac{1}{4}\lambda_{1}\lambda_{2}=0 $.

{\bf Замечание 2.} Для других унимодулярных групп Ли одномерная
кривизна либо осцилирует, либо равна нулю.

{\bf Замечание 2.} Аналогичным образом рассматривается случай
трехмерных неунимодулярных групп Ли.

\end{multicols}
\begin{center}
{\Large\bf Литература}
\end{center}
\begin{multicols}{2}
 1. Rodionov E.D., Slavskii V.V. Curvatures
estimations of left
        invariant riemannian metrics on three dimensional Lie
        groups // Proceedings of the 7th international conference -
        DGA-98,  University, Brno, Czech Republic. 1999,   16 pp.


2. Milnor J. Curvature of left
        invariant riemannian metrics on Lie groups. Advances in
        mathematics. 21,1976.293-329.
\end{multicols}


 \end{document}
