\documentclass[12pt,twoside]{article}
\usepackage{amsmath,amsopn,multicol,russian}
\usepackage[dvips]{graphicx}
\setlength{\textwidth}{160mm}
\setlength{\textheight}{220mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Команды используются для коррекции при
% выводе на печать
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\voffset -77pt
%\hoffset -75pt

\newtheorem{thm}{Теорема}
%\newtheorem*{cor}{Следствие}
%\newtheorem{lem}{Лемма}
%\newtheorem*{ytver}{Утверждение}
%\newtheorem*{proo}{Доказательство}
%\newtheorem{rmk}{Замечание}
%\newtheorem{deff}{Определение}
\language=1


%\pagestyle{empty}
%
%\newcommand{\mytitle}[1]{\large \sc #1 \\}
%\newcommand{\avtor}[1]  {\large \it #1 \\}


\begin{document}

\refstepcounter{enumi}
%\refstepcounter{thm}

\author {Д.В.~Васин}
\title
{ Аналог задачи Л.Ф.~Тота в пространстве $R^{\rm 3}$.}
\date{}

\maketitle
УДК 513:681

\begin{multicols}{2}

Эта работа посвящена исследованию характеристики Л.Ф. Тота в трехмерном
евклидовом пространстве и поиску множества допустимых значений
этой величины.

Известна следующая задача на евклидовой плоскости.
Пусть $P_2$ -- выпуклый $n$-угольник на евклидовой плоскости со сторонами длины
$a_1$,\ldots $a_n$.
Обозначим через $b_i$ длину
наибольшей хорды $n$-угольника $P_2$, параллельной стороне $a_i$.

Назовем величину
$$
\mu(P_2) = \sum\limits_{i = 1}^{n} \frac {a_i} {b_i} 
$$
характеристикой Тота для выпуклых плоских многоугольников.

Л.Ф.~Тот в работе \cite{Tot} показал, что $\sqrt{8}<\mu(P_2)\leq 4$,
и предположил, что $3\leq \mu(P_2) \leq 4$, где
равенства слева и справа достигаются на таких многоугольниках как
усеченный треугольник и параллелограмм соответственно. Более
подробное обсуждение этой задачи можно найти в [2], а мы перейдем к
формулировке задачи в пространстве $R^3$.


Пусть  $P_3$  --   выпуклый   многогранник   в   трехмерном   евклидовом
пространстве,
$f_1$, \ldots ,$f_n$ -- гиперграни многогранника $P_3$.
Обозначим через $S_i$ площадь гиперграни $f_i$
многогранника $P_3$.

Пусть  $a$   --   произвольная   прямая    с    направляющим    вектором
$\bar l$,
$\|\bar l\|=1$.
Точка $x_0$ -- ортогональная проекция  произвольной  внутренней
точки многогранника $P_3$ на прямую $a$.
Возьмем отрезок $[t_{min}, t_{max}] \subset R$ таким  образом,  чтобы ему
соответствовали  все  точки  $x$ прямой $a$,
через  которые  проходят перпендикулярные прямой $a$ плоскости,
имеющие не пустое пересечение с многогранником $P_3$.
Точки $x$ выглядят следующим образом:
$x=x_0+t\bar l$, где $t \in [t_{min}, t_{max}]$.
Обозначим через $C_t$ сечение многогранника $P_3$,  которое  образованно
плоскостью  перпендикулярной  прямой  $a$  и  проходящей   через   точку
$x=x_0+t\bar l$, а через $S(C_t)$ обозначим площадь этого сечения.

Таким образом, определили отображение отрезка $[t_{min}, t_{max}]$  в
множество вещественных чисел $R$. Обозначим это отображение через
$F_a(t)=S(C_t)$, и назовем его
функцией площади сечения  многогранника  $P_3$  вдоль прямой $a$.

При  рассмотрении  аналогичных  рассуждений  для точки   $x_0$,
являющейся ортогональной проекцией другой внутренней точки или при
построении
функции $F_b(t)$ вдоль прямой $b$, где $b \parallel a$, получаем  ту же
функцию площади сечения с точностью до сдвига аргумента.
Следовательно, функция $F_a(t)$ не  зависит существенно от  выбора
прямой $a$ и точки $x_0$.

Обозначим  через  $F_i(t)$  функцию  $F_a(t)$,  у  которой  направляющий
вектор прямой $a$ сонаправлен с вектором нормали гиперграни $f_i$.
Функция $F_i(t)$ -- функция площади сечения многогранника $P_3$, где
сечения многогранника строятся плоскостями параллельными гиперграни $f_i$.
Эта функция обладает рядом примечательных свойств.

Рассмотрим на $[t_{min},t_{max}]$ такую упорядоченную последовательность чисел
$$
t_{min} = t_1 < t_2 < \ldots < t_r = t_{max},
$$
чтобы каждое $C_{t_i}$ содержало некоторые вершины многогранника $P_3$.
Тогда справедлива следующая теорема:

\begin{thm}
Существует выпуклый многогранник $P_3$, для которого  функция
$F_i(t)$ на $[t_i,t_{i+1}]$ может являться не линейной.
\end{thm}
{\bf Доказательство.}
Приведем пример соответствующего многогранника.
Этот    многогранник    ограничен восьмью
равносторонними равными треугольниками следующим образом.  Возьмем  два,
расположенных   один    над     другим   в   параллельных   плоскостях,
треугольника. Назовем их основаниями многогранника.
Один из треугольников развернем на угол $\pi$ в несущей плоскости.
Расстояние между плоскостями берется таким, чтобы треугольники, образованные
стороной одного из треугольников оснований и ближайшей  вершиной  другого
треугольника оснований, были равносторонними.

\end{multicols}

\begin{figure}[h]
\centering\scalebox{1}[1]{\includegraphics[angle=0,totalheight=2in]{tot1.eps}}
\caption{}
\end{figure}

\begin{multicols}{2}

Рассмотрим функцию $F_i(t)$ для гиперграни $f_i$, являющейся
одним из треугольников оснований.
Пусть  $C_0$  и  $C_k$   --   сечения,   проходящие    через   основания
многогранника. $C_s$ -- сечение, проходящее посередине между плоскостями
оснований. Сечения $C_0, C_k$ -- равные  равносторонние  треугольники (по
построению). Их площади равны $F_0 = F_k = \frac  {l^2  \sqrt{3}}  {4}$,
где $l$ -- длина стороны треугольника.
Сечение $C_s$ - правильный шестиугольник со стороной $l/2$. Его  площадь
равна $F_s = \frac {3l^2\sqrt{3}}{8}$.


Получаем
$$F_0=F_k=\frac  {l^2  \sqrt{3}}  {4} < \frac {3l^2\sqrt{3}}{8} =F_s,$$
т.е. функция $F_i(t)$ на отрезке $[t_{min},t_{max}]$  не линейна. 
Так как многогранник построен  таким  образом, что все его вершины
лежат на двух параллельных плоскостях, то сечения $C_0$ и $C_k$  являются
соседними.
Таким образом функция $F_i(t)$ на отрезке между соседними сечениями
$C_0$ и $C_k$  не линейна.
Теорема доказана.

\begin{thm}
Для   выпуклого   многогранника   $P_3$   функция   $\sqrt{F_i(t)}$   на
$[t_{min},t_{max}]$ является выпуклой вверх.
\end{thm}

Для доказательства теоремы 2 понадобится следующая теорема:

\begin{thm}
Тело вращения $K^*$,  получающееся  из  выпуклого  тела  $K$  с  помощью
симметризации Шварца относительно оси $a$, всегда выпукло\cite{Bl}.
\end{thm}

Теорема 3 была выведена Г.~Брунном  в  1887г.
Она характеризует одно из свойств симметризации Шварца.
Доказательство теоремы рассмотрено в \cite{Bl}.

{\bf Доказательство теоремы 2.}
Пусть $a$ -- прямая, направляющий вектор $\bar l$  которой сонаправлен  с  вектором
нормали гиперграни $f_i$. Относительно прямой $a$ выполним симметризацию
Шварца \cite{Bl} следующим образом.

В каждой  перпендикулярной  прямой  $a$  плоскости,  которая  пересекает
многогранник $P_3$, строим круг с центром на $a$, имеющий ту же площадь,
что и  сечение  многогранника  $P_3$  этой  плоскостью;  все  эти  круги
заполняют тело вращения $L$.

Тело $L$, полученное путем симметризации Шварца из многогранника $P_3$,
согласно теоремы 3, является выпуклым телом с осью вращения $a$.
Следовательно,  функция  $\psi_a(t)$,  где  $t  \in  [t_{min},t_{max}]$,
график которой является меридианом тела вращения $L$, является выпуклой вверх.

Пусть $\Phi_a(t)$-- функция площади сечения тела $L$, где сечения строятся
плоскостями перпендикулярными прямой $a$.
Между функциями $\Phi_a (t)$ и $\psi_a(t)$ существует следующая зависимость:
$$
\Phi_a(t) = \pi \psi_a(t)^2,
$$
из которой, в силу выпуклости вверх $\psi_a(t)$, следует выпуклость вверх
функции $\sqrt{\Phi_a(t)}$.

Значение функций $\Phi_a(t)$ и $F_i(t)$ в каждой точке $t$ совпадают,
в силу   построений   выполняемых   при   симметризации Шварца.
Следовательно,  функция  площади  сечения   $\sqrt{F_i(t)}$ -- выпуклая.
Теорема 2 доказана.

Обозначим через $M_i$ максимальное значение функции сечения
$F_i(t)$

\begin{center}
$M_i = \max \limits_t F_i(t)$.
\end{center}

В обозначениях, введенных выше, характеристика Тота для
трехмерных многогранников выглядит следующим образом:
$$
\mu (P_3)=\sum_{i=1}^{n} \frac {S_{i}} {M_{i}}.
$$

Для поиска множества допустимых значений характеристики Тота
воспользуемся пакетом "Многогранник",
который написан на объектно-ориентированном языке программирования С++  в
среде Borland C++ Builder v.5. Пакет  позволяет генерировать
многогранники путем построения выпуклой оболочки
некоторого заданного случайным образом  множества   вершин  и  вычислять
характеристику Тота.

В пакете  используется  алгоритм  построения  выпуклой
оболочки, основанный на методе "под-над"\cite{Prep}.
Алгоритм  заключается в следующем: Первоначально
строится симплекс, его гранная структура определяется тривиально.
На  последующих  этапах  строится  выпуклая  оболочка  уже   полученного
многогранника с  некоторой  ранее  не  задействованной  точкой.  Гранная
структура  объединения  определяется  согласно  утверждению  теоремы  4,
приводимой ниже\cite{Konf}.

Пусть
  $P_0$ - это многогранник, полученный на предыдущем этапе;
  $t$ - добавляемая точка;
  $P = conv (P_0,t)$ - выпуклая оболочка объединения многогранника
$P_0$ и точки $t$;
  $V$ - множество вершин $P_0$;
  $V_1 \subset V$ такое, что любого $v \in V_1$
выполняются условия
$[v,t] \cap int (P_0)=\emptyset$
       и
$ray(t, v) \cap int(P_0) \neq \emptyset$ (множество видимых вершин);
  $V_2 \subset V$ такое, что любого
  $v \in V_2$
выполняются условия
$[v,t] \cap int (P_0)=\emptyset$
       и
  $ray(t, v) \cap int(P_0)=\emptyset$ (множество крайних вершин);
 $V_3 \subset V$ такое, что любого
 $v \in V_3$
выполняется условие
$[v,t] \cap int (P_0) \neq \emptyset$ (множество невидимые вершины);
  $F$ - множество граней $P_0$;
  $F^{\prime}$ - множество граней $P$;
  $F_1$ - подмножество граней $F$;
  которые содержат вершины, принадлежащие $V_1$;
  $F_2$ - подмножество граней $F$, которые содержат вершины,
  принадлежащие $V_3$;
  $F_3$ - подмножество $F$, которые состоят из вершин,
  принадлежащих $V_2$.

\begin{thm}
В обозначениях, приведенных выше, справедливо следующее утверждение.
Для $f \in F_1$ множество $conv(t, f)$ не принадлежит $F^{\prime}$;
  если $f \in F_2$, то $f$ принадлежит $F^{\prime}$;
  если  же $f \in F_3$, то $conv(t,f)$ принадлежит $F^{\prime}$.
\end{thm}

Алгоритм  вычисления  характеристики  Тота  основывается   на   свойстве
выпуклости вверх функции $\sqrt{F_i(t)}$, которое подробно  описано
выше.


Перейдем к исследованию характеристики.

Рассмотрим нижнюю границу множества допустимых  значений  $\mu(P)$.
В двухмерном пространстве, как предположил Л.Ф.~Тот,
эта граница достигается на усеченном треугольнике.
В частности, нижняя граница достигается так же и на симплексе,
в силу равенства длин сторон $a_{i}$ с длинами соответствующих
наибольших хорд $b_{i}$ треугольника. Напомним, что для симплекса
$\mu(P_2)=3$.

Рассмотрим теперь симплекс в трехмерном пространстве.
Для каждой гиперграни, ее площадь $S_{i}$  равна  максимуму  функции  площади
сечения  $M_{i}$,  а  значит  $\mu(P_3)$   примет   значение   равное
количеству гиперграней, т.е. $\mu(P_3)=4$. Заметим,  что  для  двух-  и
трехмерных симплексов можно записать общую формулу характеристики Тота:
$\mu(P)=d+1$, где $d$ -- размерность пространства.
Опираясь на очевидную аналогию, выскажем предположение о том, что  величина
$\mu(P)$ в трехмерном пространстве принимает минимальное значение также
на симплексах, т.е:

$$\mu(P_3) \geq 4.$$

Все замечания, сделанные выше, позволяют утверждать,
что характеристика $\mu(P)$ зависит  от  размерности  пространства $d$.
По аналогии с поиском нижней границы множества допустимых значений,
определим  зависимость  верхней границы от размерности пространства.
Как известно, Л.Ф.~Тот  предположил,  что  верхняя  граница  $\mu(P_2)$  в
двухмерном пространстве достигается на параллелограмме и равна $4$.
Естественно выглядят следующие предположения о зависимости размерности
пространства с характеристикой Тота в двухмерном пространстве:
\begin{center}
$\mu(P_2) \leq (2d)$
\end{center}
или
\begin{center}
$\mu(P_2) \leq d^2$.
\end{center}


Рассмотрим параллелепипед, который является трехмерным аналогом
параллелограмма.  Предположим,  что  $\mu(P_3)$  достигает
максимума на нем. $\mu(P_3)$ в этом случае равно $6$,
так как  площади  $S_{i}$   равны  максимумам  функций  $M_{i}(P_3)$,  а
количество гиперграней равно $6$.  Отсюда  следует,  что  $\mu(P_3)\leq
(2d)$.

Итак, можно предположить, что неравенство Л.Ф.~Тота  в  трехмерном
пространстве выглядит следующим образом:
$$
4 \leq \mu(P_3) \leq 6.
$$

Проверяем истинность этого предположения на некотором множестве $H$ тестовых
многогранников $P_3$ в пакете "Многогранник".
Полученные результаты тестирования приведены в таблице 1.
По результатам,  видно, что предположение о нижней
границе подтверждается, все значения величины $\mu(p)$ не превышают 4, а
равенство достигается на симплексах.
В тоже  время, предположение  о  верхней  границе  опровергнуто,  имеются
большое количество результатов значительно превышающих число 6,  которое
по предположению являлось верхней границей.

Однако, характеристика $\mu(P_3)$ превысила величину $(2d)$,
но не превысила величину $d^2$.
Проведем исследование нового предположения:
$$
4 \leq \mu(P_3) \leq 9,
$$
изменив множество многогранников $H$.
До этого тестирование проводилось на многогранниках, мощность  множества
вершин которых  не  превышает  $10$.  Увеличим   ограничение   до   $20$
вершин и проведем тестирование.

Результаты тестирования (таблица 2) также  опровергают  предположение  о
максимальном значении характеристики Тота $\mu(P_3)$, в тесте номер 26 и
41 величины $\mu(P_3)$ несколько  превышают  число  9,
которое, таким образом не  может  являться   верхней  границей  величины
$\mu(P_3)$.
Заметим, что результаты таблицы 2 подтверждают предположение о нижней границе
множества допустимых значений характеристики Тота.

Таким образом, численные результаты исследования характеристики Л.Ф.~Тота
в трехмерном пространстве подтверждают предположения о том, что
$\mu(P_3) \geq 4$,
а вопрос  о  верхней  границе  остается открытым.
Проделанные исследования позволяют  сделать  вывод  о  том,  что
величина характеристики  Л.Ф.~Тота  $\mu(P_3)$  зависит  от  количества
вершин многогранника $P_3$. Так, по результатам исследований,
с увеличением числа  вершин  многогранника  увеличилось  и  максимальное
значение   характеристики   $\mu(P_3)$.   Было бы   интересно    получить
зависимость между этими характеристиками.

\end{multicols}

\begin{table}
\centerline {Таблица 1}

\begin{tabular}
{|p{10pt}|p{45pt}|p{27pt}|p{85pt}|p{10pt}|p{45pt}|p{27pt}|p{85pt}|}
\hline
{№}& {Вершины}& {Гипер- грани}& {Характеристика Тота}&
{№}& {Вершины}& {Гипер- грани}& {Характеристика Тота}\\
\hline
{1}& {6}& {8}& {6.80550938453425} &
{30} & {9}& {14}& {7.12784812060319} \\
\hline
{2} & {7}& {10}& {6.84107013758572} &
{31} & {9}& {14}& {6.80117265376321} \\
\hline
{3} & {4}& {4}& {4} &
{32} & {9}& {14}& {8.07448111916017} \\
\hline
{4} & {9}& {14}& {5.16911023246024} &
{33} & {10}& {16}& {5.95116911313651} \\
\hline
{5} & {7}& {10}& {5.91684108663247} &
{34} & {8}& {12}& {8.88688731592995} \\
\hline
{6} & {7}& {10}& {6.31032692577452} &
{35} & {6}& {8}& {6.935441576054} \\
\hline
{7} & {7}& {10}& {7.70796129525597} &
{36} & {9}& {14}& {8.62023113567152} \\
\hline
{8} & {8}& {12}& {5.7523767332491} &
{37} & {6}& {8}& {7.42292082901149} \\
\hline
{9} & {9}& {14}& {5.80254614942793} &
{38} & {4}& {4}& {4} \\
\hline
{10} & {6}& {8}& {5.95393219144808} &
{39} & {5}& {6}& {4.73511247100807} \\
\hline
{11} & {6}& {8}& {6.66845581502794} &
{40} & {7}& {10}& {5.77273103083136} \\
\hline
{12} & {8}& {12}& {6.33786403370728} &
{41} & {9}& {14}& {5.85073975243537} \\
\hline
{13} & {6}& {8}& {6.85307337029053} &
{42} & {7}& {10}& {5.56390689786365} \\
\hline
{14} & {9}& {14}& {5.59802367356544} &
{43} & {5}& {6}& {5.32238015698074} \\
\hline
{15} & {9}& {14}& {8.42233581602402}&
{44} & {7}& {10}& {7.41224085080406} \\
\hline
{16} & {6}& {8}& {5.61017849555708} &
{45} & {4}& {4}& {4} \\
\hline
{17} & {9}& {14}& {6.73046867926099} &
{46} & {9}& {14}& {6.69477616094048} \\
\hline
{18} & {10}& {16}& {6.3450265601776} &
{47} & {8}& {12}& {5.71550920487578} \\
\hline
{19} & {6}& {8}& {6.3869419731352} &
{48} & {10}& {16}& {6.15756713392449} \\
\hline
{20} & {7}& {10}& {5.25757294884952} &
{49} & {9}& {14}& {7.37032689959313} \\
\hline
{21} & {9}& {14}& {5.77389319024152} &
{50} & {5}& {6}& {6.85143878474681} \\
\hline
{22} & {8}& {12}& {5.72874888126309} &
{51} & {8}& {12}& {6.67135817393488} \\
\hline
{23} & {9}& {14}& {7.21062190036024} &
{52} & {4}& {4}& {4} \\
\hline
{24} & {8}& {12}& {7.26216248727952} &
{53} & {7}& {10}& {6.21951507808429} \\
\hline
{25} & {6}& {8}& {5.87636919880959} &
{54} & {5}& {6}& {4.6028856281585} \\
\hline
{26} & {6}& {8}& {6.76804878180378} &
{55} & {8}& {12}& {6.27800632852107} \\
\hline
{27} & {6}& {8}& {7.1195305465744} &
{56} & {7}& {10}& {5.97812738612807} \\
\hline
{28} & {7}& {9}& {7.17317561518451} &
{57} & {7}& {10}& {6.34152457673901} \\
\hline
{29} & {9}& {14}& {5.9164609730679}&
{58} & {}& {}& {}\\
\hline
\end{tabular}
\end{table}

\begin{table}
\centerline {Таблица 2}
\begin{tabular}
{|p{10pt}|p{45pt}|p{27pt}|p{85pt}|p{10pt}|p{45pt}|p{27pt}|p{85pt}|}
\hline
{№}& {Вершины}& {Гипер- грани}& {Характеристика Тота}&
{№}& {Вершины}& {Гипер- грани}& {Характеристика Тота}\\
\hline
{1} & {9}& {14}& {6.54987020695104} &
{31} & {11}& {18}& {6.93166775905522}\\
\hline
{2} & {13}& {22}& {6.59226230552572} &
{32} & {4}& {4}& {4} \\
\hline
{3} & {9}& {14}& {6.32433017042976} &
{33} & {8}& {12}& {5.55470314295326} \\
\hline
{4} & {10}& {16}& {8.38263028903953} &
{34} & {4}& {4}& {4} \\
\hline
{5} & {9}& {14}& {6.01790602416782} &
{35} & {6}& {8}& {7.31511021138788} \\
\hline
{6} & {8}& {12}& {6.60722881103052} &
{36} & {7}& {10}& {5.96090103956892} \\
\hline
{7} & {14}& {24}& {6.2229053559946} &
{37} & {11}& {18}& {5.52318788065827} \\
\hline
{8} & {7}& {10}& {6.99368105331928} &
{38} & {8}& {12}& {5.95363250307228} \\
\hline
{9} & {8}& {12}& {7.09996114950802} &
{39} & {7}& {10}& {7.48933914590989} \\
\hline
{10} & {7}& {10}& {7.25523310518668} &
{40} & {10}& {16}& {5.68329535779793} \\
\hline
{11} & {11}& {18}& {6.27225957059531} &
{41} & {10}& {16}& {9.04049674426656} \\
\hline
{12} & {9}& {14}& {8.29034955199059} &
{42} & {8}& {12}& {8.58315960163323} \\
\hline
{13} & {9}& {14}& {5.54119493902489} &
{43} & {11}& {18}& {7.55731774924748} \\
\hline
{14} & {7}& {10}& {7.47706304134677} &
{44} & {10}& {16}& {8.15422067534746} \\
\hline
{15} & {11}& {18}& {6.25113815187827} &
{45} & {5}& {6}& {5.31098847815218} \\
\hline
{16} & {10}& {16}& {7.25065820250907} &
{46} & {7}& {10}& {5.98848616663266} \\
\hline
{17} & {5}& {6}& {4.94154327865159} &
{47} & {11}& {18}& {7.97413288204962} \\
\hline
{18} & {7}& {10}& {8.47965580591861} &
{48} & {8}& {12}& {7.56462200666258} \\
\hline
{19} & {8}& {12}& {8.30312036235716} &
{49} & {9}& {14}& {7.12344318985009} \\
\hline
{20} & {10}& {16}& {6.39075093418086} &
{50} & {8}& {12}& {7.31047618096644} \\
\hline
{21} & {8}& {12}& {7.65295693649911} &
{51} & {5}& {6}& {5.40459158480123} \\
\hline
{22} & {12}& {20}& {8.90581816998717} &
{52} & {7}& {10}& {8.43028005487602} \\
\hline
{23} & {11}& {18}& {6.85665704746489} &
{53} & {7}& {10}& {5.84044751697134} \\
\hline
{24} & {9}& {14}& {6.37728825776242} &
{54} & {12}& {20}& {8.78514122083353} \\
\hline
{25} & {7}& {10}& {6.46008189371661} &
{55} & {9}& {14}& {7.62477340807345} \\
\hline
{26} & {10}& {16}& {9.22408799573766} &
{56} & {10}& {16}& {7.84917905772657} \\
\hline
{27} & {9}& {14}& {6.03636208039029} &
{57} & {7}& {10}& {7.19609044405022} \\
\hline
{28} & {11}& {18}& {6.40391129474748} &
{58} & {10}& {16}& {6.57398808997739} \\
\hline
{29} & {7}& {10}& {5.74801857738849} &
{59} & {8}& {12}& {6.31334951889175} \\
\hline
{30} & {9}& {14}& {8.11295965552691} &
{60} & {7}& {10}& {6.71215072384794} \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Библиография
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{thebibliography}{9}
\bibitem{Tot}
L.F.~T\'oth. \"Uber eine affineinvariante Masszahl bei
Eipolyedern // Studia Sci. Math. Hungar. 1970, N5, P.173--180.
\bibitem{Gu}
H.T.~Croft, K.J.~Falconer, R.K.~Guy. Unsolved problems in geometry,
1994, Springer-Verlag, P.58.
\bibitem{Bl}
В.~Бляшке. Круг и шар, М.: Наука, 1967.
\bibitem{Prep}
Ф.~Препарата, М.~Шеймос.  Вычислительная  геометрия: Введение:   Пер.   с
англ., М.: Мир, 1989, С.167-182.
\bibitem{Konf}
Д.В.~Васин. Определение гранной  структуры  выпуклой  оболочки  множества
точек в  евклидовом  пространстве  //  Материалы  ХХХVIII  Международной
научной   студенческой   конференции   "Студент   и   научно-технический
прогресс": Математика. Часть 1 /Новосиб. ун-т/. Новосибирск, 2000, С.48-49.

\end{thebibliography}


\end{document}
